Когда 1 < £> < 2, деревья самопересекаются при в < (9крит, следовательно, если мы хотим обойтись без самопересечений, то выбор доступных значений в сужается. Деревья на рис. 223 удовлетворяют условию в = вкрт, однако мы начнем с предположения, что в = вщ)т + е.

Деревья. На первый взгляд, деревья на рисунке кажутся самоподобными, поскольку каждая ветвь вместе с произрастающими из нее

16 о Деревья. Скейлинговые остатки. Неоднородные фракталы 219

меньшими ветвями является уменьшенной копией целого. Однако на самом деле две ветви, выходящие из главного разветвления, не дают в сумме целого: необходимо прибавить сюда и остаток, т. е. ствол дерева. Даже с точки зрения здравого смысла, таким остатком никак нельзя пренебречь. Более того, люди, как правило, придают большее значение стволам и ветвям деревьев, нежели концам ветвей. Если верить интуиции, ветви «господствуют» над своими концами.

Кроме того, независимо от значения £), концы ветвей дерева без самопересечений образуют пыль с размерностью От = 0, а ветви (неважно, с включенными концами или нет) — кривую с размерностью От = = 1. Следовательно, топологически ветви господствуют-таки над своими концами. < В самом деле, чтобы отделить от множества точку Р и ее окрестность, необходимо удалить либо одну (если Р — конец ветви), либо две (если Р принадлежит внутренней части ветви), либо три точки (если Р — точка ветвления). ►

Перейдем к фрактальному аспекту. Размерность множества концов ветвей £>, а размерность каждой ветви 1. Что касается целого, то оно, не будучи масштабно-инвариантным, все же характеризуется фрактальной размерностью, определяемой по формуле Хаусдорфа-Безиковича, причем эта размерность не может быть ни меньше О, ни меньше 1, а на деле оказывается равной большей из двух величин. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

Фрактальные деревья. Когда В > 1, фрактальная размерность всего дерева равна О. Несмотря на то, что ветви доминируют в конструкции как с точки зрения здравого смысла, так и топологически, во фрактальном смысле ими можно пренебречь. Так как О > От, дерево представляет собой фрактальное множество, в котором величина I? служит мерой ветвления. Таким образом, нам открывается еще одна грань фрактальной размерности в добавление к ее способности выступать в качестве меры иррегулярности и фрагментации. Когда мы перейдем в главе 17 к ненитевидным деревьям, мы обнаружим, что гладкая поверхность с достаточным количеством острых локализованных «выступов» может оказаться чем-то «большим», чем стандартная поверхность.