РАЗМЕРНОСТЬ Г>с КРИТИЧЕСКИХ БЕРНУЛЛИЕВЫХ

КЛАСТЕРОВ

Значение Ес непосредственно выводится либо из показателя О/Бс = Е/Бс в формуле для №(М > р), либо из показателя Ц = Юс— — И = 2£)с — Ев формуле для (М (Д)). Введя греческие буквы т, а и ц в обычном для данного контекста значении, получим Е/Ес = т — 1 и 2£>с — Е = 2 — г]. Отсюда

Ос = Е/(т-1) = Е/(1 + а-1) и Юс = 1+(Е - г])/2.

Благодаря установленным физиками соотношениям между величинами т, а и г/, мы знаем, что вышеприведенные формулы для Юс экви-

13 о Острова, кластеры и перколяция

189

валентны. И наоборот, их эквивалентность имеет не только физические корни, поскольку следует из геометрических соображений.

Харрисон, Бишоп и Куинн [198], Киркпатрик [267] и Штауф-фер [536] независимо друг от друга получили одинаковое значение Ес. Они отталкиваются от свойств кластеров при р > ркрш и, как следствие, выражают полученный результат с помощью различных критических показателей (/3, 7, V и <т). За их рассуждениями не стоит никакой конкретной фрактальной картины. Примером опасностей, таящихся в таком подходе (относительно которого я уже предостерегал ранее в этой же главе), может послужить тот факт, что он привел Стенли [533] к заключению: величины (3 и £>с являются одинаково законными размерностями.

В случае Е = 2 численное значение Ес равно 1, 89. Оно согласуется с эмпирическими свидетельствами, полученными с помощью определенной процедуры, знакомой нам по другим задачам. Возьмем некоторую величину г, которая, кстати, вовсе не обязана иметь вид 1/6, где 6 — целое число. Теперь возьмем большой вихрь, который в сущности представляет собой квадратную или кубическую решетку со стороной 1. Покроем его субвихрями со стороной г, сосчитаем количество N квадратов или кубов, пересекающих кластер, и вычислим приближенное значение размерности 1пЛГ/1п(1/г). Повторим процесс с каждым непустым субвихрем со стороной г, покрыв его субсубвихрями со стороной г2. И так далее, по возможности большее число раз. Наиболее осмысленные результаты дает г, близкое к 1. В некоторых ранних экспериментах [391, 192] была получена смещенная оценка Г>+ ~ 1,77, однако последующее, более обширное, моделирование [537] подтвердило теоретическое значение £>.