180

Масштабно-инвариантные фракталы о IV

канторова пыль, то, как нам известно из главы 8, масса М (Я), содержащаяся в диске радиуса Я < Л с центром в нуле, пропорциональна Я°. < Величина 1п[М (Л) Я~°] представляет собой периодическую функцию от logь(A/R), однако мы не станем задерживаться на этих сложностях, так как они исчезают, стоит лишь модифицировать фрактал таким образом, чтобы все значения г > 0 оказались допустимыми коэффициентами самоподобия. ►

Мы знаем, что правило М (Я) ос Яв применимо также к кривой Коха (см. главу 6). Кроме того, оно распространяется и на рекурсивные острова и кластеры, рассматриваемые в этой главе, только И следует заменить на £)с. Во всех случаях масса, содержащаяся в диске радиуса Я с центром в нуле, определяется выражением

М(Я, А) = ЯВс ф (Я/А),

где ф — функция, выводимая из формы фрактала Т. В частности:

М (Я, А) ос ЯВг при Я « Л; М (Я, А) ос АВа при Я » А.

Рассмотрим теперь среднее взвешенное значение М (Я) в случае, когда Л изменяется в соответствии с весьма широким гиперболическим распределением Д¥пг(Л > Л) ос Х~в+Вс, и обозначим это среднее через (М (Я)). Известно, что 1 ^ £)с < И ^ 2. Исключив сочетание И = 2 и £>с = 1, можно записать 0 < И — £>с < £>с. Следовательно,

(М (Я)} ос Я®, где О; = 2Ос-О>0.

Когда центр диска находится не в точке 0, а в какой-либо другой точке фрактала Т, изменяется только коэффициент пропорциональности, тогда как показатель остается неизменным. Не изменяется он и при усреднении по всем положениям центра в Т, и при замене интервала [0, 1] другим инициатором. < Обычно берут дугу кривой произвольной длины Л и произвольной же формы. Вышеприведенные формулы для М (Я, Л) применимы и для (М (Д, Л)), усредненного по всем формам. Окончательный результат всегда одинаков. ►

Замечание. Предыдущее рассуждение никак не зависит от топологии кластеров — они могут быть петлями, интервалами, деревьями или чем-нибудь еще.

Вывод. Формула {М [Я)) ос Я® показывает, что при гиперболическом распределении величины Л и, как следствие, очень широком ее разбросе, одну из существенных ролей размерности берет на себя некий показатель, отличный от И. Обычно он равен 2£)с — £), однако различные весовые функции дают различные показатели О;.