13 о Острова, кластеры и перколяция

179

кластер представляется бесконечным только потому, что он окружает очень большую область, то стоит лишь вспомнить о том, что сам он окружен кластером еще большего размера, и конечный размер любого кластера перестанет вызывать сомнения.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ МАССОЙ И КОЛИЧЕСТВОМ. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ВЗВЕШЕННЫМ ДИАМЕТРОМ И КОЛИЧЕСТВОМ. ПОКАЗАТЕЛИ Г> - Г>с И Г>/Г>с

Переформулируем функцию №(Л > А) двумя способами: первый состоит в замене диаметра кластера А его массой р,, второй — в назначении единице размера контактного кластера некоторого веса.

Массой кластера здесь называется просто количество звеньев длины Ь~к в самом кластере (только не считайте звенья внутри петельных кластеров). В сущности (см. главы 6 и 12), мы строим несколько модифицированную сосиску Минковского (рис. 57), размещая в каждой вершине квадрат со стороной Ъ~к и добавляя по половине квадрата к каждой концевой точке.

Масса кластера диаметра Л равна площади его модифицированной сосиски, М ос (А/Ък)0г (Ък)2 = /(б*)15""2. Поскольку Д, < 2, масса М стремится к нулю при к —> сю. Масса всех контактных кластеров в совокупности пропорциональна (Ьк)в'~2; при И < 2 она также стремится к нулю. Что касается относительной массы каждого отдельного кластера, то она пропорциональна (&/с)1?с~1?; скорость ее стремления к нулю возрастает при увеличении значения разности I? — £)с.

Соотношение между массой и количеством. Очевидно, что

№(М > и) ОС ^-0+20/0^-0/0^

Распределение диаметра, наделенного массой. Заметим, что величина №(Л > А) представляет собой количество строк, расположенных выше строки с номером А в списке, в котором перечисляются контактные кластеры в порядке уменьшения их размеров. Однако сейчас нам необходимо сопоставить каждому контактному кластеру количество строк, равное его массе. Как нетрудно убедиться, окончательное выражение имеет вид

Д¥пг(Л > А) осА-л+1Ч МАССОВЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬ С} = 2Г>С - Г>

Обозначим фрактал размерности £>, рекурсивно построенный из инициатора [О, Л], через Т и примем его общую массу за А°. Если Т —