ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО КАК МЕРА ФРАГМЕНТАЦИИ

Вышеописанное построение допускает следующее изменение генератора:

□□ N = 16

г-1/8

•.......» □ Р=4/3

Общая величина В остается неизменной, однако береговая размерность Вс принимает наименьшее возможное значение, Вс = 1. То есть в рамках этой модели береговые линии островов могут быть спрямляемы! В этом случае общая величина В определяет не степень иррегулярности, а единственно степень фрагментации. Размерность В характеризует здесь не извилистость отдельных кривых, а целое соотношение между

174

Масштабно-инвариантные фракталы о IV

количеством прямоугольных островов в бесконечном семействе и их площадью.

При измерении длины кривой шагом е результат все еще стремится к бесконечности при е —> 0, однако теперь для этого имеется другая причина. Шагом длины е можно измерять только острова, диаметр которых не меньше е. Однако по мере того, как е —> 0, число таких островов возрастает, и измеренная длина изменяется пропорционально ег~в — точно так же, как и в отсутствие островов.

В общем случае Вс > 1, значение Вс характеризует только степень иррегулярности, в то время как В описывает степень иррегулярности и фрагментации в совокупности.

Фрагментированная фрактальная кривая может иметь касательные в любой точке. Закруглив углы островов, можно добиться того, что к береговой линии в любой ее точке можно будет провести касательную, причем площади островов — а с ними и общая размерность В — останутся неизменными. Таким образом, фрактальность <т-кривой и отсутствие у кривой касательных — вовсе не одно и то же.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ ОСТРОВОВ

Безвредная расходимость. При а —> 0 количество островов №(А > а) = Ра~в стремится к бесконечности. Следовательно, закон Корчака вполне согласуется с нашим первоначальным наблюдением относительно практически бесконечного числа островов.

Относительная площадь наибольшего острова. Этот последний факт приемлем математически только потому, что суммарная площадь очень маленьких островов конечна и пренебрежимо мала. < Общая площадь всех островов, площадь каждого из которых меньше е, изменяется пропорционально значению интеграла функции а(Ва~в~1) = = Ва~в на интервале от 0 до е. Так как В < 1, интеграл сходится, и его значение В (1 — В)~1е1~в стремится к нулю по мере уменьшения е. ►