Заметим, что моделирование полученного соотношения между £> и £>с при описании реальных островов требует некоторых дополнительных допущений, кроме, разумеется, тех случаев, когда его можно вывести из соответствующей теории (см. главу 29).

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДИАМЕТРОМ И КОЛИЧЕСТВОМ

Доказательство применимости закона Корчака к островам, рассмотренным в последнем разделе, проще всего осуществляется тогда, когда генератор включает в себя один остров, а терагоны избегают самопересечений. (Напомню, что терагонами называются аппроксимирующие ломаные линии.) В этом случае на первом этапе создается один остров — обозначим его «диаметр», определяемый л/а, через Ао. На втором этапе образуется Лг островов диаметра гЛо, а результатом то-го этапа будет Мт островов диаметра Л = гтХо. В целом, всякий раз, как Л умножается на г, количество островов №(Л > Л) умножается на N. Следовательно, распределение Л (для всех значений Л вида г™Ао) описывается выражением

№(Л> А) =Р\-°,

13 о Острова, кластеры и перколяция

173

ключевым показателем в котором является фрактальная размерность береговой линии! Как следствие:

ЩА>а)=Е'а~в, где В = В/2;

т. е. мы самостоятельно вывели закон Корчака. При других значениях А или а получится ступенчатая кривая, знакомая нам по главе 8, где она описывала распределение длин канторовых пустот.

Результат не зависит ни от Мс, ни от Вс. Его можно распространить на тот случай, когда генератор включает в себя два или более островов. Заметим, что эмпирически полученное значение В для всей Земли составляет величину порядка 0, 6, что весьма близко к половине размерности В, полученной измерением длин береговых линий.

ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ Е > 2

Применив наше построение к пространству, мы убедимся в том, что _К-мерный диаметр, определяемый как (объем)1/-®, подчиняется гиперболическому выражению вида №( (объем) 1/Е > А) = Е\~в, ключевым показателем в котором снова является В.

Показатель В оказывается определяющим и в особом случае канто-ровой пыли (Е = 1), однако здесь имеется одно существенное отличие. Длина за пределами канторовых пустот обращается в нуль, тогда как площадь за пределами «коховых островов» вполне может быть положительной (как, впрочем, чаще всего и бывает). К этому предмету мы вернемся в главе 15.