Обозначив через В и положительные константы (показатель и префактор, соответственно), получим следующее, весьма замечательное, соотношение между площадью и количеством:

№(А > а) = Р'сГв.

Если мы захотим приписать кому-либо честь открытия этого правила, то лучше всех, пожалуй, подходит кандидатура И. Корчака [279] (хотя, по его утверждению, В = 1/2, что я считаю невероятным и не обоснованным представленными в статье данными). Более того, значение В различно для различных регионов и всегда больше 1/2. Позвольте мне теперь показать, что вышеприведенный обобщенный закон является аналогом распределения, полученного нами в главе 8 для длин пустот в канторовой пыли.

КОНТИНЕНТ И ОСТРОВА КОХА. ИХ РАЗЛИЧНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ

Для построения коховского аналога канторовых пустот я разбиваю генератор на два не связанных друг с другом элемента. Чтобы получаемая фрактальная кривая оставалась интерпретируемой как береговая линия, генератор включает в себя связную ломаную, состоящую из Мс < N звеньев и соединяющую концевые точки интервала [0, 1]. Этот элемент мы назовем берег-генератором, так как он определяет, каким образом

172

Масштабно-инвариантные фракталы о IV

изначально прямое побережье преобразуется в побережье фрактальное. Оставшиеся N — 7УС звеньев образуют замкнутую петлю, которая «порождает» острова и называется поэтому остров-генератором. Ниже приводится пример такого составного генератора:

На последующих этапах построения субострова всегда находятся у левой половины берег-генератора (при движении от 0 к 1) и остров-генератора (при движении по часовой стрелке).

Первая неожиданность: предельный фрактал в этом случае характеризуется двумя различными размерностями. Собрав вместе береговые линии всех островов, получим £> = 1п7У/ 1п(1/г), однако береговая линия каждого отдельного острова имеет размерность £>с = 1п Мс/ 1п(1/г), причем соблюдается неравенство

1 < £>с < £>.

Суммарная береговая линия, не будучи связной, является сама по себе не кривой, а бесконечной суммой (X) замкнутых кривых (петель). Предлагаю ввести для ее обозначения термин сигма-петля (или <т-петля).