Заметим, что полученное соотношение между длиной и площадью можно применять для оценки размерности фрактальной кривой, ограничивающей стандартную область.

Доказательство соотношения. Первым делом измерим длину каждой береговой линии с помощью внутренней, зависящей от площади, мерки:

С* = (С-площадь)1/2/1000.

Если аппроксимировать каждое из побережий наших островов многоугольником с длиной стороны С*, эти многоугольники также будут взаимно подобны, а их периметры будут пропорциональны стандартным линейным протяженностям (С-площадь)1/2.

Заменим теперь С* заданным шагом С Из главы 6 нам известно, что измеренная длина при этом изменится в отношении (С/С*)1-0. Следовательно:

((З-длина) ос (С-площадь)1/2{С/С*) 1~Е' = =(С-площадь)1/2-1/2 а-о)С1-о1 = =(С-площадь)1?/2С1-1?1 ООО0-1.

12 о Соотношения между длиной, площадью и объемом

163

Наконец, возведя каждую часть в степень получаем искомое

соотношение.

НАСКОЛЬКО ИЗВИЛИСТА РЕКА МИССУРИ?

Вышеизложенные соображения проливают свет и на измерение длины рек. Чтобы определить длину главной реки речного бассейна, мы аппроксимируем форму русла извилистой самоподобной кривой размерности £)>1, которая начинается в точке, называемой истоком, и заканчивается в точке, называемой устьем. Если бы все реки, равно как и их бассейны, были взаимно подобны, то, согласно фрактальному соотношению между длиной и площадью, мы получили бы следующее соотношение:

((З-длина реки)1/15 ос (б-площадь бассейна)1/2.

Более того, исходя из стандартности площади:

(С-площадь бассейна)1/2ос(расстояние по прямой от истока до устья).

Объединив эти соотношения, заключаем, что

(С-длина реки)1/15 ос (расстояние по прямой от истока до устья).

В высшей степени замечательно, что в уже упоминавшейся работе Хака [186] на основании эмпирических данных показано, что отношение

(С-длина реки)/(С-площадь бассейна)0'6

и в самом деле одинаково для всех рек. Из косвенной оценки £>/2 = = 0,6 получаем I? = 1,2 — значение, весьма напоминающее те, что дают измерения длины береговых линий. Если с помощью И измерять степень иррегулярности, то значения для локальных излучин окажутся абсолютно идентичными значениям для поворотов в масштабе всей реки!