6.4. Масштабирующие функции и вейвлет-функции

Сейчас мы расширим понятия масштабирующих функций и вейвлет-функций, введенные в предыдущей главе для вейв-летов Хаара, для более общих вейвлетов. Масштабирующая функция Хаара 0(0, определенная равенством (5.3.2), удовлетворяет следующему соотношению:

0(0 = 0(20 + 0(2/- 1)

Предположим теперь, что имея множество коэффициентов со,сь...,Слм, мы ищем масштабирующую функцию 0(0 общего вида, удовлетворяющую следующему свойству:

(6.4.1) 0(0 = j.(co0(2O + с10(2/ - 1) + ... + сылф(21 - (ЛГ - 1)))

Уравнение (6.4.1) называется масштабирующим уравнением (dilation equation) [42]. Константа s*Q введена здесь, чтобы обеспечить некоторую гибкость в обеспечении существования такой функции 0, которая удовлетворяет равенству (6.4.1) и другим условиям, которые мы собираемся наложить. Фактически константа s будет определена этими условиями.

Введем два дополнительных свойства, которым удовлетворяет масштабирующая функция Хаара и которым должна удов" летворять наша масштабирующая функция общего виДа-Первое из них - это свойство нормированности:

6. Вейвлеты Лобеши

173

Второе свойство - это ортогональность сдвигов (orthogonality of translates):

15)

U.6)

откуда

Условие (6.4.4) является условием существования функции 0.

Применяя свойства нормированное™ (6.4.1) и ортогональности (6.4.3) к масштабирующему уравнению (6.4.1), получаем

а, подставляя (6.4.2) при т = О, получаем значение константы 5:

Аналогично тому, как вейвлет-функция Хаара определяется с помощью оператора вычитания, мы можем определить вейв-лет-функцию общего вида с помощью оператора высокочастотного фильтрования. Например, для УУ = 4 определим вейв-лет-функцию следующим образом:

174 Фракталы и вей влеты для сжатия изображений в дейс*ц

Таким образом, если нам известны коэффициенты с0,сьс2 то мы можем найти 0(/) и у/(г), рекурсивно применяя соотц^ шения (6.4.1) и (6.4.6). Например, если мы знаем, что принимает целочисленные значения, то легко можем найъ 0(1/2), у(1/2), 0(1/4), и т. д.

Уравнения (6.2.2) и (6.4.4) дают нам два условия для коэЛ фициентов Су Например, при N = 2, мы получаем систему