6.1. Взвешенные средние и разности

Предположим, что мы имеем последовательность данных (т.е. изображение): х - {хь хъ • хп} Для некоторого п > 0. Вместо простого среднего, которое приводит к построению вейвлетов Хаара, мы рассмотрим взвешенное среднее:

СоХ\ + С\Хг + ... + СдчХуу

для некоторого множества коэффициентов Со, Си Оуь N > 2. Условно мы определим ск = 0 для значений к < 0 и k>N. Аналогом простой операции вычитания будет выражение:

С\Х\ - соХ2 + с&ъ - сгхл + ...

Заметим, что этот выбор приводит к следующему свойству ортогональности:

168 Фракталы и вей влеты для сжатия изображений в лейст^

6.1.1. Низкочастотные и высокочастотные фильтры

Положим п = 2т для некоторого т > О и расширим послед^ вательность данных, введя в нее цикл, чтобы получить пе риодическую последовательность:

..., Х\, Х2> • • • у Хп, %\> «^2» • • •» %т Х\ > %2> • • • ? %т • • •

Таким образом, х0 = хп, х.\ = хп.и хп+\ = Х\, *п+2 = х2 и так далее Напомним, что с* = О для к<0 и k>N. Определим оператор L„: R" —» R^2 следующим образом:

Оператор L„ называется низкочастотным фильтром. Определим оператор Н„: R" —» R"72 следующим образом:

(нлх),=В-1Гс2,Л, «-U..f.

Оператор Н„ называется высокочастотным фильтром. Вместе L„ и Н„ образуют квадратурно-зеркальный фильтр (КЗФ) (Английская аббревиатура QMF - quadrature mirror filter) [19].

6.1.2. Матричное представление

Обозначим через Ln[ij] элемент ij матричного представления оператора L„ для последовательности данных с циклом х-Тогда

6. Вей влеты Аобеши

169

Аналогично, обозначим через Ня[/^] элемент ц матричного представления оператора Н„, так что

\jnlij] и Нп[ч] определены для I = 1,2,...,л/2 и; = 1,2,...,я, так что Ь„ и Н„ являются матрицами размера п/2 х п.

В качестве примера построим матрицы Ь„ и Н„ для я = 8 и N=6 (т.е. с коэффициентами с0,Сь...,с5). Тогда матрицы Ь8 и Н8 имеют вид:

Ш^войства^^

накладываемые на коэффициенты

В главе 5 мы убедились в том, что из определения операторов усреднения и вычитания А„ и В„ вытекают определенные свойства, такие как ортогональность, а также свойства, задаваемые уравнениями (5.7.10) и (5.7.11). В этой главе мы наложим условия на коэффициенты с0,...,с^-ь так что аналогичные свойства приобретут операторы Ь„ и Н„.