Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в Дейст^

5*

С точки зрения линейной алгебры мы разрешили уравнецц (5.7.1) относительно вектора а* путем обращения матрци* левой части этого уравнения. Таким образом, мы выполни^ следующую операцию: 11

(5.7.5)

Откуда мы знаем, что обратная матрица в (5.7.5) существуем Потому что мы находим ее в (5.7.4)! В матричной форме это обращение выглядит как

(5.7.6)

Сравнение с (5.6.9) показывает, что эта обратная матрица является всего лишь транспонированной по отношению к матрице прямого преобразования. Фактически первые 2кл столбца матрицы в (5.7.6) в точности представляют собой транс-

понированную матрицу А*, а последние 2 " столбца - транспонированную матрицу D*. Это удобное свойство возникает благодаря ортогональности и нормированности наших базисных функций масштаба и вейвлет-функций. Таким образом, мы можем записать обращение в (5.7.6) как:

(5.7.7)

где * обозначает транспонирование матрицы. Теперь мы можем переписать (5.7.5) в виде

5. Простые вейвлеты

159

Уравнение (5.7.8) дает практическую формулу для получения а* из ак.\ и йк.\: применяем Ак к а*.1 и Т)к к <1ы и складываем результаты. Фактически именно эта процедура, а не тот подход, который дается уравнением (5.7.5), реализована в программе, прилагаемой к книге. Сравнение с (5.7.3) показывает, что верно следующее:

ак =А*Акак +В*кВкак

Фактически можно напрямую доказать истинность следующего соотношения:

АкАк+ВкВк=12к

где 12к - это единичная матрица 2* х 2*. Выполняется также следующее соотношение:

В следующей главе мы потребуем, чтобы соотношения, аналогичные (5.7.10) и (5.7.11), были предложены для низкочастотных и высокочастотных фильтров, которые приводят к определению вейвлетов Добеши.

Двумерные вейвлет-преобразования

До сих пор мы рассматривали вейвлет-преобразование только для одномерных последовательностей и не совсем точно называли эти последовательности «изображениями». Хотя, действительно, мы всегда можем растянуть строки и столбцы изображения в единую длинную последовательность, но это

160

_Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в дейсти,

■*--^---.--.

приведет к перераспределению битов информации и не буц^