где х - это вектор-столбец с 2п элементами, а а„.і и (!„.! - век-

торы-столбцы с 2 (5.6.9) как

71-1

элементами. Тогда мы можем переписать

3)

Матрица в левой части (5.6.13) - это единая матрица 2п х 2п, а вектор в правой части - единый вектор-столбец 2п х 1. На каждом шаге процесса вейвлет-преобразования мы сохраняем детализирующие коэффициенты и обрабатываем коэффи-

156

Фракталы и вей влеты для сжатия изображений в лейсгц^

циенты усреднения. В рассматриваемом случае вейвд^ преобразование будет иметь Т компонентов. Половину них мы получаем из уравнения (5.6.13) в качестве детал^ рующих коэффициентов в й„-\. Сохраняем эти коэффициен как половину вейвлет-преобразования. Следующий п

вейвлет-преобразования состоит в применении к ъпЛ опера ций усреднения и вычитания на следующем, более низко-уровне разрешения: !

Здесь А„_1 и 1)п.\ - это 2п'Ах2пЛ матрицы вида (5.6.10) и (5.6.11), а а„.2 и 6п.2 - это векторы-столбцы размерности 2я"2. Чтобы построить часть вейвлет-преобразования, мы сохраним йп.г вместе с йп.\. Продолжим этот процесс, применяя операции усреднения и вычитания ка^и сохраняя полученные детализирующие коэффициенты как часть вейвлет-преобразования. На заключительном шаге мы сохраним среднее значение ао, которое является однокомпонентным вектором (т.е. скаляром) с единственным элементом яо,о- Результирующее вейвлет-преобразование, которое мы можем представить как единый вектор-столбец с 1 + 1 + 2 + ...+ 2пЛ = 2п элементами, будет иметь вид:

(5.6.15)

5.7. Обратное вейвлет-преобразование

Чтобы вейвлет-преобразование могло быть использовано приложениях, таких, например, как сжатие изображений, должно быть обратимым. То есть, при заданном вейвЛ^ преобразовании вида (5.6.15), мы должны быть в состояв

5. Простые вейвлеты

157

восстановить исходную последовательность {хх,х2,..чХ „}9 из которой было получено преобразование. Фактически, в разделе «Усреднение и детализация» мы проделывали это обратное преобразование. Сейчас мы проделаем аналогичные действия. Шаг вейвлет-преобразования, заключающийся в переходе от к уровня разрешения к к-\, выглядит следующим образом:

158