/а/<Ао + /А.бУ\

где/о,/\ являются скалярными константами. Тогда

(^.о. /)= /о (^1,о. 01.о)+ А (^.о. 01,1 )= 0 + 0 = 0, так как

1/4 1/2

коАоЬ /(0(0*+]"(-1Х0*=о

О 1/4

И

1

Таким образом, ул,о £ У/х аналогично, щл £ Аналогично доказывается, что у/^-е ]¥к.

Какова размерность У/к! Очевидно, она не больше, чем размерность Vм, так как ]УкаУм. Таким образом, размерность У/к не может быть больше, чем 2к+{ (мы говорим здесь о размерности векторного пространства, т.е. о количестве элементов в базисе, в отличие от фрактальной размерности, о которой говорилось в предыдущих главах). Так как {щ/.] = 0,...,2к-\} образуют множество из 2к взаимно ортогональных и, следовательно, независимых векторов в ]Ук, то размерность ]Ук равна, по крайней мере, 2к. Но это и наибольшая возможная размерность Ц?к, так как в Уш существует другое множество 2к взаимно ортогональных векторов, а именно {фк/.7 = 0,.. .,2*-1}, и каждый из этих векторов также ортогонален каждому из векторов {щ/.] = 0,...,2*-1}. Любой вектор из ]Ук, который не может быть выражен через {у^Ь может быть выражен через {фц}, а это невозможно.

150 Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в лейст*^

Мы пришли к следующему заключению: размерность пр^ странства Wk равна 2к и {у/^: j = 0,...,2*-1} являются базис0 в Wk. 4

Разве это не интересно? Вейвлет-функции образуют базцс пространства Wk9 ортогонального дополнения Vk в y*+i В предыдущем разделе вейвлеты были представлены щ средство восстановления деталей при уменьшении разреще ния. Здесь вейвлеты выступают как базис ортогонального дополнения пространства функций, определенных при дан, ном разрешении. Это ортогональное дополнение можно рас. сматривать как детали, которые теряются при переходе от одного уровня разрешения к другому, более низкому ур0в, ню разрешения. Фактически вейвлеты можно определить как любые базисные функции для этого ортогонального дополнения.

Побочный результат изложенного выше в том, что мы на-толкнулись на альтернативный базис для пространства более высокого разрешения Vм. Мы уже знаем, что один базис Vм это J = 0,...,2*+1-1}. Альтернативным базисом яв-