уОсу1

Продолжая дальше таким же образом, определим V как пространство кусочно-постоянных функций на интервалах [0,1/4), [3/4,1), и Уп как пространство кусочно-

постоянных функций на равноотстоящих интервалах длиной 1/2п. Каждое Уп - это векторное пространство, и масштабирующие функции {0ь/, 3=0,...,2М} образуют базис в пространстве Уп. Кроме того, пространства Vп последовательно вложены друг в друга:

148_Фракталы и вей влеты для сжатия изображений в дейст»..

Теперь мы определим скалярное произведение элементу пространства V п: ь

Векторное пространство с введенным в нем скалярным про изведением называется евклидовым пространством, дВе функции называются ортогональными относительно скаляр, ного произведения (• ), если

(А*)=о

Ортогональность функций полезна по нескольким причинам, Прежде всего, заметим что, например,

(0|.о Ах )= 0

так что {01,0,01,1} образуют ортогональный базис для V1, Фактически для каждого ки]ф1умъ\ имеем

(0*,,>0и)=О

так что {0^;у = 0,.. .,2*-1} образуют множество взаимно ортогональных базисных векторов в V*. Заметим также, что

при ] Ф I.

Ортогональность полезна и по другой причине. Для данного евклидова пространства £/, принадлежащего большему евклидову пространству 5, мы можем говорить о множестве векторов в 5, ортогональных всем векторам в £/. Это множество называется ортогональным дополнением пространства I/ в пространстве 5 и обозначается и1 (недостаток этого обозначения в том, что оно не отражает подразумеваемой связи с пространством 5, поэтому иногда оно обозначается как БШ). НетруДн° проверить, что и1 само является векторным пространством (а также и евклидовым пространством).

Рассмотрим следующее пространство

Простые вейвлеты

149

Таким образом, V/ определено как ортогональное дополнение пространства Ук в пространстве Vм. Мы уже знакомы с некоторыми элементами У/к. Рассмотрим у/*у. Заметим, что длины интервалов, на которых постоянна, составляют половину длины интервалов, на которых элементы пространства Ук являются константами. Другими словами, у/^ е Ук+1 при каждом ]. Более того, легко убедиться в том, что (Щ^/)-® для каждого /е V* и, таким образом, у/^е \Ук при каждом] и каждом /с. Рассмотрим, например,