5.4. Кратномасштабный анализ

Процесс декомпозиции дискретной последовательности значений (такой как цифровое изображение) в «размытые», или средние значения, и детализирующие значения при различных масштабах называется кратномасштабным анализом (multiresolution analysis). В этом разделе мы проиллюстрируем кратномасштабный анализ на простом примере, полученном на основе вейвлетов Хаара. Раздел содержит некоторЫе математические детали, которые требуются для описания пространств, в которых действуют функции и у/ц. Ср#$ оговоримся, что этот материал не является необходимым применения вейвлетов к сжатию изображений. Однако способствует пониманию теории вейвлетов в целом и поМ^

Простые вей влеты

147

жет понять темы следующей главы, в которой мы будем рассматривать усовершенствованные вейвлеты.

Обозначим через V0 пространство всех функций, постоянных на интервале [0,1). Тогда V0 - это векторное пространство функций. То есть если мы сложим две постоянные функции, то сумма будет постоянной функцией и также будет принадлежать V0. И если мы умножим постоянную функцию на число (скаляр), то произведение будет постоянной функцией и будет принадлежать V0. Базисная масштабирующая функция 0 принадлежит V0. Фактически каждый элемент пространства V0 может быть получен умножением ф на подходящую константу. Таким образом, {ф} составляет (довольно тривиальный) базис пространства V0.

А теперь рассмотрим несколько более сложное пространство функций. Пусть Vх - пространство кусочно-постоянных функций, являющихся константами на интервалах [0,1/2) и [1/2,1). Vх - это тоже векторное пространство функций. Примером элемента пространства Vх является функция g\(t), определенная уравнением (5.3.5). Масштабирующие функции фио и 0и также являются элементами пространства V1. Из уравнения (5.3.5) следует, что все остальные элементы пространства V1 могут быть представлены линейной комбинацией функций и 0и. Можно показать, что функции {01,о,01,1} образуют базис пространства Vх. Заметим также, что функция, постоянная на интервале [0,1), является постоянной и на каждом из интервалов [0,1/2) и [1/2,1), поэтому каждый элемент V0 является элементом V\ то есть