Аналогично тому, как мы делали это для масштабирующей функции 0(0, сейчас мы введем масштабированный и сдвинутый вариант у/(0- Определим у/ЦО следующим образом:

аду(0= *<2*/-Л7 = 0,...,2*.1

На Рис. 5.3.4 представлены графики щ$ и

|ДВА 5. Простые вейвлеты

145

к. 5.3.4.

ункиии у/^о и ^! прелставляют &ой сжатые гдвинутые рсии базисного

Шлета у/

Давайте еще раз рассмотрим задачу выражения функции / через средние значения и разности, или, пользуясь нашей новой терминологией, через функции масштабирования и вейвлеты. Так как наше конечное разрешение имеет место на интервалах длиной !/4, то мы можем рассмотреть g1(t) на каждом из интервалов [0,1/4),...[3/4,1), чтобы увидеть, где она становится неравной исходной функции/. На [0,1/4) разность равна:

ДО -£і(0 =*і -Яі,о = Лі,о На [1/4,1/2) разность равна:

Л0-£і(0=*2-Ді.о = -</і,о

Таким образом, для ґ, принадлежащего интервалу [0,1/2), мы можем записать:

ДО = я1,о 01,о(О + ^1,о 1/Л,о(0

Аналогичный анализ на интервалах [1/2,3/4) и [3/4,1) показывает, что

ДО = я и 01,1(0 + </и тЛО

для I, принадлежащего интервалу [1/2,1). Объединив эти результаты, мы получим новое представление для/на всем интервале [0,1):

146 Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в Дейст^

Теперь у нас есть представление / в виде суммы функц^ определенных как средние значения на интервалах длиной у и некоторых детализирующих функций, которые нужны на^ чтобы компенсировать разницу с исходным изображением *

Аналогично тому, что мы делали в предыдущем разделе, ^ь определим теперь среднее значение на всем интервале [О ]) заменив первые два слагаемых в (5.3.7) на д0,о $Ь,о(0> а вторь^ два слагаемых оставив без изменений:

£о(0 = «0,о <М0 + </.,о ^,о(0 + &\л ¥и(!) На [0,1/4) разность между ДО и #0(0 составит:

ДО " £о(0 = *\ - «о,о - ^1,0 = ^о,о а на [1/4,1/2) мы получим

ДО " £о(0 = *2 - «0,0 + ^1,0 = ^0,0

Аналогично, на [ 1/2,1) ДО - #0(0 = *^о,о, следовательно, на всем интервале [0,1) мы можем записать Дг) как:

(53.8) ДО = «о,о <М0 + ^о,о Уо,о(0 + ^1,о ^1,о(0 + ¥\№

Уравнение (5.3.8) - это аналог последовательности (5.2.5), но для функций.