за)

ДО = *1 02,0(0 + *2 02,1(0 + *3 02,2(0 + *4 02,з(О

142

Фракталы и вей влеты для сжатия изображений в действу

Рис. 5.3.2. (а) Масштабирующая функция ф

Рис. 5.3.2. (Ь) 01,о ^ 01,1 - это масштабированные и слвинутые версии ф

Интервал, на котором функция ф^ не равна нулю (и, следовательно, равна 1) называется носителем (support) этой функции. Заметим, что величина носителя функции 0*j уменьшается, когда к увеличивается. Фактически величина носителя Фк+ij составляет половину величины носителя фц. Таким образом, масштаб или разрешение определяются значением к в 0*j. Если мы хотим увеличить разрешение, то используем большее значение к.

Предположим, что нам нужно проделать процедуру, подобную той, что мы делали в предыдущем разделе. То есть мЫ хотим представить функцию Дг), заданную уравнением (5.3.4), с помощью операций усреднения и вычисления разности. Усреднение равнозначно уменьшению разрешения, поэтому мы можем выполнить его, взяв ф/cj с меньшим значе-

ABA 5. Простые вей влеты

143

нием к. Это эквивалентно представлению ДО через ф\# и 01,ь Коэффициент при 01,о в этом представлении - это я1,о, заданный уравнением (5.2Л), и, таким образом, этот коэффициент является средним значением первых двух коэффициентов /. Аналогично, коэффициент при 01,1 - это д^, и в результате мы получим следующую функцию:

Очевидно, однако, что g\ не эквивалентна функции /. Например,

что, в общем случае, не одно и то же (за исключением варианта, когда Х\ = Х2). При получении g\ из/мы использовали только усреднение, поэтому, вероятно, мы потеряли бы информацию, если бы наша исходная функция не содержала очень мало информации с самого начала. В процедуре, описанной в предыдущем разделе, отсутствует концепция определения деталей с помощью некоторой операции вычисления разностей. Нам требуется функция, позволяющая выразить разность.

Функция, которую мы ищем, называется вейвлет-функцией. Для данного примера базисная вейвлет-функция (basic wavelet function) задается следующим образом:

13.5)

тогда как

$.3.6)

На Рис. 5.3.3 представлен график вейвлет-функции y/(t).

144

Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии