5.3. Масштабирующие функции и вейвлет-функции

Усреднение и выделение деталей, описанное в предыдущем разделе, представлены одним блоком диаграммы на Рис. 5.1.2. В этом разделе мы, двигаясь по этой диаграмме по часовой стрелке, покажем, как понятие разрешения приводит к введению масштабирующих функций и вейвлет-функций.

Предположим, что мы рассматриваем наше изображение {*ь *2> *з, х4} как функцию на единичном интервале:

(53.1) ДО = х\ Х|о,1/4)(0 + х2 X[i/4fi/2)(0 + *3 Х[1/2,3/4)(0 + *4 XI3/4,i)(0

где каждое Х[а,Ь) - это характеристическая функция (characteristic function) на интервале [а,Ь), т.е.

Х[а,ь)(0 = {1 если а < t < Ь; 0 в противном случае}

На Рис. 5.3.1 показано, как может выглядеть график такой кусочно-постоянной функции для некоторых, произвольно выбранных, значений хи х2ь х^ и ;с4. Заметим, что если бы мы использовали f(t) для аппроксимации непрерывной функции, то для лучшей аппроксимации стоило бы взять больше характеристических функций, определенных на меньших интервалах. Таким образом, чтобы получить лучшую аппроксимацию, нужно использовать лучшее разрешение.

Рис 5.3.1.

Функция j{t), заланная уравнением (5.3.1)

(Л 5, Простые вейвлеты

141

ЗамеТИМ, ЧТО Хц/4,1/2)(0 - ЭТО ВСеГО ЛИШЬ СДВИГ Х[0,1/4)(0»

а именно

Х[1/4,1/2)(0 = Х[0,1/4)(^ " уа)

Аналогично, Хп/2,з/4)(0 и Х(3/4л)(0 - это сдвиги Х10,1/4)(0- Кроме того, Х[о,1/4)(0 ~ это масштабирование характеристической функции Х[о,1)(0> определенной на единичном интервале, а именно

Х[о,1/4)(0 = Х[0,1)(220

Таким образом, все характеристические функции в уравнении (5.3.1) могут быть записаны как масштабированные

И СДВИНуТЫе верСИИ ОДНОЙ еДИНСТВеННОЙ фуНКЦИИ Х[0>1)(0-

Введем обозначение

Шэ.2) 0(0 = Х10,1)(0

и определим

Щзз) ФФ) = <К2к г - у) ; = 0,. .,2*-1

Тогда

Л.о(0 = 0(0

01,о(О = 0(20 = {1 для 0 < г <1/2; 0 в противном случае) 01,1(0 = 0(2*-1) = {1 для Уг<1< 1; 0 в противном случае)

На Рис. 5.3.2 (а) и (Ь) показаны некоторые из этих функций. Заметим, что 01>о и фи\ - это масштабированные и сдвинутые версии 0. Мы назовем 0 масштабирующей функцией. Функция /, определенная равенством (5.3.1), теперь может быть выражена с помощью этих новых функций как: