а = (х\ + Х2)/2 (1 = (х\ - х2)/2

(коэффициент Уг вводится в определение й для удобства обозначений). Заметим, что мы можем выразить {х\, -^2} через {<*,<!}:

х\ = а + с1 х2 = а - с1

138___Фракталы и вей влеты для сжатия изображений в действий

«Вейвлет-преобразование» исходной последовательности {х\ух2} - это {я, d). В этом представлении информация не добавляется и не теряется. Тогда возникает вопрос, какая польза от замены {хи х2} на {я, d). Особенной пользы нет если только два значения хх и х2 не оказываются близкими друг к другу. В этом случае разность d мала, и изображение {хих2} можно заменить его приближением {а}. Заметим, что это новое «изображение» имеет меньше пикселов, чем исходное. Мы получили сжатие изображения! Восстановленным изображением будет изображение {а, а} с ошибкой изображения (error image) - а\,\х2 - а\) = \d\). Так как d мало, ошибка будет мала.

Основополагающей в вейвлет-анализе является идея о выделении информации при различных уровнях детализации. Детали, в свою очередь, могут рассматриваться как информация о масштабе или о разрешении. Простой пример, рассмотренный выше, имеет ограниченную применимость к реальным изображениям, но он иллюстрирует идею, на которой основывается применение вейвлет-анализа к сжатию изображений: выделение информации, которую несут детали, и удаление тех информационных деталей, которые малы и незначительно влияют на изображение в целом.

Рассмотрим несколько большее изображение {хи х2у хъ, я*}. Вычислим средние значения

(5.2.1) Я1,о = (*1 +*2)/2 а\,\ = (*з +х*)/2

и разности

(5.2.2) di,o = (*i -хг)Г1 d\,\ = (*з -*4)/2

(Двойные нижние индексы здесь показывают, что мы начинаем многошаговый процесс, и это его первый шаг). Как и раньше, мы получили новое представление {я1>0, du0, d\t\} исходного изображения, которое содержит ровно столько же пикселов, сколько и исходное. Если мы захотим сжать это изображение, мы обратим внимание на величину значений d\,o и d\4\ и решим, могут ли они без ущерба быть удалены. При этом мы получим сжатое изображение {аио,а\Л}. Предположим, однако, что нас не удовлетворяет такая степень