W(fw) =fw

Итеративно применяя W к произвольному начальному изображению /о, мы получим неподвижную точку fw:

W°n(f0)-+ ^,ПРИП->оо,

где W°n(/о) - это W(W(...Wtfo))) (п раз). На Рис. 3.2.4 представлен результат применения сжимающего отображения W к двум различным начальным изображениям. Отображение W, ис-

76_Фракталы и веивлеты для сжатия изображении в Деисту

пользованное здесь, было получено при помощи методу фрактального кодирования изображений, описанных ниже.

Исходное \ 1егк >лви*, ,ая

изображение: т чка:

Рис. 3.2 4. Теорема о сжимающих отображениях, примененная к изоораженням в

іралаииях серого В э ом примере IV это сжимаюшее отображ* ние и сраіивно примененное к лвум различным изображен* ям- Не апи сил о >/ начрльногс изображени итсраиии схоляїся к олному и гсщ же і зображенню, являющемуся неполвижной ючкои

'Георема о сжимающих отображениях является базовой для всех методов фрактального кодирования. Действительно: мы имеем изображение в градациях серого /, пытаемся найти сжимающее отображение IV, такое чтобы изображение/^ яв~

ЛЯЮЩееСЯ НепОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ Отображения IV, бы О б 1ИЗК0

к / Тогда IV од ржит bci ; информацию, необходимую для получения/ц Если для хранения VV требуется меньше места, чем для храпения изображения/, значит мы добились сжатия изображения.

3.2.4. Теорема коллажа лля изображении в градациях серого

Как было в случае с IFS и воичными изображениями, т^' рема коллажа у шествует и для PIFS и изображений в гр^3" ция\ серого. Пусть задано и: бражение в градациях сере го/ Предположим, что Мы можем найти сжима! щее отобрав" ние IV, такое что

cL(j\\V(j))<e

3. Фрактальное кодирование изображений в градациях серого

Тогда

77

где s - это коэффициент сжатия отображения W, a fw его неподвижная точка. Это означает, что мы можем начать с любого изображения g и итеративно применять преобразование W к изображению g, чтобы получить изображение, близкое к/.

В то время как теорема о сжимающих отображениях обеспечивает саму возможность фрактального кодирования, теорема коллажа дает практический способ его реализации. Вместо того чтобы думать о бесконечном количестве итераций, применяемых к данному изображению, нам нужно только найти такое отображение W, однократное применение которого, то есть изображение W(f), будет близким к желаемому изображению /. Заметим, что W должно быть сжатием с коэффициентом сжатия s много меньшим единицы, в противном случае условие, содержащееся в правой части неравенства (3.2.4), теряет смысл.