Преобразование вида (3.2.2) - это базовое аффинное преобразование изображений в градациях серого, которое мы будем использовать во фрактальном кодировании изображений.

74_Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в Аейсгй^

3.2.2. Сжимающие отображения изображен^ в градациях серого

Когда отображение w,: F —> F является сжатием? Требуе^ выполнение условия

d2MUi(g))*sd2(f9g)

для некоторого 5, 0 < s < 1, где d2 - это метрика, заданная вы. ражением (3.1.1). Используя формулу замены переменной в кратном интеграле, получим

d\ fa </\ч GO) = /Ь (/Х*> У)' Щ №> yfdxdy

*/(0,)

= \з\2\&*А\\\г{х,у)-§{х,у\2с1хс1у о,

<\s\2\tetA\dl(f,g)

где Aj - матрица преобразования wh det А/ - определитель А, и Si - коэффициент сжатия. Чтобы преобразование было сжатием, достаточно выполнения условия

В частности, коэффициент сжатия s, должен быть по модулю больше единицы: |^|>1. Тогда пространственная составляющая wi будет являться сжатием с коэффициентом сжатия, достаточно маленьким для того, чтобы выполнялось (3.2.3).

3.2.3. Теорема о сжимающих отображениях для изображений в градациях серого

Разобьем единичный квадрат I2 на множество ранговых блоков {Ri}, которые образуют покрытие I2:

R,r\Rj=0 Пусть wi - PIFS вида

для некоторого множества доменных областей (доменов " domains) Д с I2 (области Д могут перекрываться и могут $

фрактальное кодирование изображений в градациях серого

75

полностью покрывать I2). На Рис. 3.2.3 показана такая конфигурация.

Преобразование wi отображает ломены D, в ранговые области Ломены могут перекрываться, а ранговые области покрывают елиничный квалрат

Для каждого wt определим соответствующее сжатие wt на пространстве изображений F:

выбирая Sj9 так чтобы w, было сжатием. Теперь определим W: F —» F следующим образом

W(f)(x,y) = wtf)(x,y) для (х,у) е R,

В силу того, что ранговые области /?, покрывают I2, W определено для всех (х,у) из I2 и, следовательно, W(f) является изображением. Так как каждое отображение и>/ является сжатием, то W является сжатием на F. Поэтому, согласно теореме о сжимающих отображениях, W имеет единственную неподвижную (fixed) точку fw G F, удовлетворяющую