рическое пространство для изображений градациях серого

Как уже упоминалось в главе 1, мы можем рассматривать изображения в градациях серого как вещественные функции Дх,у), определенные на единичном квадрате I2 = I х I. То есть

/:12->{1,2,...,УУ}сК

где N - это число градаций серого. Мы можем ввести метрику Лг(,) на этих функциях следующим образом:

72 Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в лейсг^

—-—--■-~~ -^iji

Определим пространство F вещественных функций, рируемых с квадратом на I2 с введенной метрикой. Хог пространство F - полное, и в нем выполняется теорем^ сжимающих отображениях. 0

Изображения, с которыми мы будем работать, - это цифр0 вые изображения. Цифровое изображение п х m - это матри ца значений [Д/], i= 1, nj= 1, m, гдеД? =f(xl,yJ)^ ким образом, это матрица фиксированных значений функц^ Дх,у), взятых в фиксированных точках (xhyf). В этом слуцае мы будем говорить о среднеквадратической метрике (Со> кращенно rms - root mean square):

(3.1.2)

3.2. Системы итерируемых кусочно-определенных функций

Во фрактальном сжатии изображений используются IFS специального вида, а именно системы итерируемых кусочно-определенных функций (partitioned iterated function system -PIFS). PIFS состоит из полного метрического пространствах, набора подобластей Д С X, i = 1, п и набора сжимающих отображений w,-: Д—» X, i = 1, и (Рис. 3.2.1).

Рис. 3.2.1.

Система

итерируемых

кусочно-

опрелеленных

функций

фрактальное кодирование изображений в градациях серого

73

3.2.1. Аффинные преобразования

изображений в градациях серого

Пусть (х,;у) - это аффинное преобразование, переводящее в себя единичный квадрат: I2 —» I2, другими словами

12.

йнственное

азование Цтное к нему газование

для некоторой матрицы А, размера 2 X 2 и вектора Ь,- размера 2x1. Пусть Д с I - некоторая подобласть единичного квадрата I2 и пусть /?/ - область значений преобразования мл,

действующего на множестве Д, так что и>ДД) = /?, (Рис. 3.2.2). Теперь мы можем определить отображение и>,: Г —» Р, действующее на изображение Дх,у), в виде

при условии, что обратимо и (х,у) е /?,. Константа ^ расширяет или сужает диапазон значений функции/, или, коль скоро мы говорим об изображениях в градациях серого, управляет контрастностью. Аналогично, константа о{ увеличивает или уменьшает значения градаций серого, или управляет яркостью. Преобразование называется пространственной составляющей преобразования