Системы итерируемых функций

65

Заметим, что левая часть уравнения (2.5.1) не зависит от n> 1, значит, и правая часть не зависит тоже. В частности, для множества А мы можем определить его размерность ал следующим образом:

Wll . г HNA(l/n)) ШШт dA = lim---

где УУл(1/л) число блоков с длиной стороны, равной 1/л, необходимое для того, чтобы покрыть множество А.

Мы можем применить это определение к треугольнику Сер-пинского S. Как показывает Рис. 2.5.4, для того, чтобы покрыть 5, необходимо три блока с длиной стороны, равной 1/2 (без ограничения общности, можно считать, что длина стороны треугольника S равна 1), и 9 = З2 блоков с длиной стороны 1/4 = 1/22. В общем случае

/V5(l/2") = 3"

где Ns(l/2n) - число блоков с длиной стороны 1/2", необходимое, чтобы покрыть S. Таким образом, размерность ds множества S

Таким образом, размерность 5 - не только не целое, это трансцендентное число, приблизительно равное 1,58. Ясно, что 5-это фрактальный объект.

1п(3)/1п(2)= 1.58...

66_Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в Дейст^

2.5.2. Построение IFS по реальному изображению

Хотя фрактальный папоротник, такой как показан

На

Рис. 2.1.1 (а), и напоминает настоящий папоротник, он не і

хож на папоротник, встречающийся в природе. Во первых 0ц имеет бесконечно много листьев, и каждый лист имеет бес конечное количество деталей. На Рис. 2.5.5 (а) приведу цифровая фотография реального растения (хотя и не папо. ротника) с конечным множеством листьев. Мы можем по строить изображение-аттрактор IFS, аппроксимирующее это изображение, но это потребует большего числа преобразова* ний, чем построение изображения папоротника. Интересно отметить, что существует обратное соотношение между сложностью изображения и сложностью преобразований, Есть ли связь между этим наблюдением и тем фактом, что папоротник был самым первым растением в эволюции?

Чтобы получить IFS-аттрактор, представляющий растение, изображенное на Рис. 2.5.5 (а), нам необходимо преобразование для каждого листа. Это изображение хорошо подходит для IFS-представления, так как каждый лист похож на все растение в миниатюре. Рис. 2.5.5 (Ь) - это изображение растения, помещенное на сетку в прилагаемой к книге программе. Растение имеет 11 листьев, и для каждого нужно одно преобразование. Каждый лист отмечается тремя точками, и всего нужно 33 точки для преобразований листьев. Кроме того, 3 преобразования нужны, чтобы определить сегменты изогнутого стебля. Для этого нужны еще 7 дополнительных точек (две из них используются дважды); и всего получается 40 точек и 14 преобразований. На Рис. 2.5.5 (Ь) показаны отметки точек и одно преобразование листа (заметим, что точки 1, 2, 3 определяют все растение целиком). На Рис. 2.5.6 показано результируюШ# изображение-аттрактор IFS. Этот пример может рассматри* ваться как грубая форма сжатия изображения. Однако, каку#е упоминалось в начале этой главы, хотя техника преобразований может оставаться стимулом для развита фрактального подхода к сжатию изображений, технологий, ^ торые сейчас применяются во фрактальном сжатии изобр^ ний, мало похожи на процесс, который мы рассмотрели тоЛЬ^ что. В следующей главе будет рассказано о методах, боЛ пригодных для практического применения фрактальных ^ нологий сжатия изображения.