Фракталы

Предыдущая Следующая

Системы итерируемых функций

Построение треугольника Серпинского: берем исхолный сплошной треугольник (слева), улаляем перевернутый треугольник из его центра (в центре), затем улаляем перевернутые треугольники из центров трех оставшихся треугольников (справа), и так лалее

Треугольник Серпинского также легко построить как аттрактор IFS. На Рис. 2.5.2 показано IFS-преобразование и изображение-аттрактор. IFS включает три преобразования: {1,4,3}->{9,10Д2}, {1,4,3}->{5,4,7}, {1,4,3}->{6,7,3}. Нетрудно вычислить аффинные коэффициенты для этого случая. Преобразования имеют вид:

Преобразования лля IFS треугольника Серпинского (слева) и изображение-аттрактор (справа). Три преобразования: (1,4,31-^(9,10,12), (1,4,3)^(5,4,7), (1,4,3)^(6,7,3)

64_Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в Аейсгйу

Треугольник Серпинского является хорошим пример0. иллюстрирующим две отличительные особенности фрак^' лов: самоподобие и дробную размерность. Самоподод^ очевидно из построения. Чтобы увидеть, почему име^ смысл говорить о дробной размерности этих объектов, рас смотрим следующее.

2.5.1.1. Размерность фракталов

Что мы понимаем под «размерностью»? На уровне интуиц^ мы знаем, что линия имеет размерность 1, сплошной квадрат имеет размерность 2, а сплошной куб имеет размерность 3 Существует ли способ вычислить это число? Рассмотрим си* туацию, показанную на Рис. 2.5.3. Допустим, что нам необ-ходимо покрыть квадрат 5, длина стороны которого равна 1 меньшими квадратными блоками. Чтобы покрыть исходное изображение, потребуется один блок с длиной стороны, равной 1, 22 = 4 блока с длиной стороны, равной 1/2, З2 = 9 блоков с длиной стороны, равной 1/3, и так далее. Пусть Л^(1/л) - это число блоков с длиной стороны, равной ]/п, которое требуется, чтобы покрыть квадрат. Легко увидеть, что

Размерность квадрата, которая, как мы знаем, равна 2, содержится в показателе степени в правой части уравнения, Мы можем выразить эту размерность следующим образом:

(2.5.1) (1=2 = 1п(Щ 1/л))Лп (л)