И последнее определение в этом разделе. Множество В в (Х,сГ) ограничено, если существует точка х0 е X и конечное значение /?, О < /? < °°, такое что для каждого х£ В выполняется

с1(х0, х) < /?

Множества 5 и 5 являются ограниченными, так же как и все множества изображений, которые мы будем рассматривать в этой главе.

2.2.2. Компактные множества

и пространство Хаусдорфа

Математическое понятие «изображение» в этой главе несколько отличается от представления об изображении в градациях серого, рассматривающегося в следующих главах. Двоичное изображение, такое как папоротник на Рис. 2.1.1 (а), может рассматриваться как особый случай изображения в градациях серого, а именно как двумерная матрица значений градаций серого, где каждый пиксел или черный, или белый. Однако в этой главе, когда мы будем говорить о двоичном изображении, речь будет идти только о множестве точек в И2, представленных черными пикселами. Таким образом, изображение — это множество точек, заключенных в ограниченном подмножестве пространства (К2,*/2). Мы не будем работать с этими изображениями непосредственно как с множествами, а воспользуемся понятием абстрактного метрического пространства для определения пространства, в котором эти изображения сами будут являться точками. Это позволит нам использовать хорошо известный результат из классической теории метрических пространств для получения алгоритма создания фрактальных изображений. Мы введем метрику для измерения расстояния между множествами изображений и будем рассматривать сами эти множества как точки в метрическом пространстве.

Двоичные изображения - это замкнутые и ограниченные подмножества в (К2,*/2)« Чтобы считать эти изображения точками в более абстрактном метрическом пространстве, мы

40

Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действ^

должны обобщить понятия замкнутости и ограниченности Множество С в метрическом пространстве (X,<f) называет^ компактным, если каждая бесконечная последовательность из С имеет сходящуюся в С подпоследовательность. Мно>ке. ство (R2,^) не является компактным, так как, например, по* следовательность {(и,0)}о..оо не имеет сходящейся подпосле. довательности. Следует заметить, что из определения ком. пактного множества следует, что оно должно содержать все свои предельные точки, то есть быть замкнутым. Множество 5, определенное в разделе 2.2.1, не компактно, так как не замкнуто. В евклидовом пространстве, как и в (R2,d2), любое замкнутое и ограниченное множество является компактным этот факт известен как теорема Больцано-Вейерштрасса.