Хп —> X

38 Фракталы и вей влеты для сжатия изображений в действцц

Последовательность {хп} называется последовательность^ Коши, если точки хп и хт становятся сколь угодно близким^ друг к другу для достаточно больших п и т. Или, в строго^ формулировке, для любого сколь угодно малого е > 0 сущеч ствует N > 0, такое что с1(хт, хп) < в для всех т,п>И. СходЯч щаяся последовательность является последовательность^ Коши; обратное же не всегда верно. Так, можно определить пространство 8 и последовательность Коши {хп} в 5, такую что пространство 5 не будет содержать предел последова-тельности {хп}. Рассмотрим следующий несколько искусственный пример. Пусть 5 - множество точек в Я2, удаленных от начала координат на расстояние, меньшее 1 (имеется в виду евклидово расстояние) и не включающее начало координат.

5 = {(*, у) е Я2: 0 < </2((*. у),(0,0)) < 1}

Рассмотрим последовательность точек {(1/л,1/л)}, и > 1 в X, Это - последовательность Коши, тем не менее, она не сходится к точке в 5. Так же как и другая последовательность {((и-1)/и,0)}, п > 1, которая тоже является последовательностью Коши в 5, но не сходится к точке в 5.

Метрическое пространство, в котором каждая последовательность Коши сходится к точке этого пространства, назы-вается полным метрическим пространством. (Я , <Ц) - полное метрическое пространство. Пространство (5, иг), где 5 -множество, определенное выше, не является полным.

Определенные выше последовательности не сходятся в 5, но имеют пределы во всем пространстве Я2: (1/л,1/л) —> (0,0) е Я и ((и-1)/и,0) -> (1,0) е Я2. Точки (0,0) и (1,0) называются предельными точками множества 5. Точка х называется предельной точкой, если существует последовательность точек {хп} в 5\ {х}, такая что хп —>х. Здесь 5\ {х} определяется как множество всех точек в 5 за исключением точки х. Множество А в метрическом пространстве (X, </) называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Множество 5, определенное выше, не замкнуто. Однако замкнутым является множество

Системы итерируемых функций

39

Множество А вместе со всеми его предельными точками называется замыканием множества А и обозначается А. В приведенном выше примере 5 является замыканием множества 5.