2.2.1. Основные понятия

В евклидовом пространстве Я2 расстояние с12(х,у) между точ« ками х = (х\,х2) и у = (у\,у2) обычно определяется следующим образом:

(2.2.1) <12(х, у) = ((XI - УО2 + (х2 - у2)2)Ш

Это не единственный способ измерения расстояний в И Другая функция расстояния:

(2.2.2) <1х(х, у) = |х, - у,| + [*2 - у2\

Эти две функции расстояния по-разному определяют р^с' стояние между двумя точками. Например, б?2((0,0),(1,1)) = ^ а 6?1((0,0),(1Д)) = 2. Однако обе они являются мерами р^с' стояния. В чем же суть измерения расстояния? Вот те свойства, которые математики считают неотъемлемыми свойствами функции расстояния:

1. Не имеет значения, измеряется ли расстояние от точки х Д° точки у или от у до х. Таким образом, мы имеем:

(1(х9 у) = <1(у, х)

Системы итерируемых функций

37

2. Расстояние от точки до нее самой равно 0:

d(x, х) = О

3. Не существует более короткого расстояния через промежуточную точку (другими словами, кратчайшее расстояние между двумя точками - это расстояние по прямой, что бы под этим ни подразумевалось!):

d(x, у) < d(x, z) + d(z, у)

4. И, наконец, сама функция расстояния должна быть вещественной, конечной и положительной для двух различных точек х и у:

О < d(x, у)<°°

Функция расстояния, удовлетворяющая свойствам (1) - (4), называется метрикой. Множество точек X вместе с метрикой J, определенной на X, называется метрическим пространством и обозначается (X, d).

Мы будем работать с изображениями, понимаемыми как множество точек в R . Может показаться странным то, что мы говорим о понятиях абстрактных метрических пространств, когда имеем дело с таким конкретным пространством, как R2. В действительности нам нужно определить метрическое пространство, точками которого будут являться изображения. Когда мы совершим этот переход, нам станет доступен весь аппарат теории метрических пространств, которым мы будем руководствоваться в таких пространствах, где интуиция не всегда может выручить.

Нам понадобятся некоторые базовые определения, касающиеся общего метрического пространства (X,d). Последовательность точек {хп} называется сходящейся к точке х € X, если при достаточно больших п мы можем найти хп, сколь угодно близкие к х. В строгой математической формулировке это звучит следующим образом: для любого сколь угодно малого е > 0, существует N > 0, такое что d(xn, х) < е для всякого n>N. Точка х называется пределом последовательности {хп}. Сходимость последовательности {хп} к точке х обозначается: