Что такое фрактал?

Термин фрактал был впервые введен Бенуа Мандельб-ротом [28]. Гораздо легче описать фракталы, чем определить их. Ключевое свойство, характеризующее фракталы, - это самополобие. То есть, когда вы смотрите на фрактал, вы видите некоторый набор элементов, который остается одним и тем же независимо от масштаба. Большинство объектов утрачивают детали, когда их приближают для более пристального рассмотрения. Фрактал же можно приближать до бесконечности. Настоящие фракталы являются результатом некоторого бесконечно повторяемого процесса, такого как итерационный процесс. Второе свойство, которое характеризует фракталы, это дробная размерность. Хотя само понятие дробной размерности может показаться противоречащим интуиции, мы можем взять идею обычной евклидовой размерности (где размерность линии равна единице, размерность прямоугольной области на листе бумаги равна двум, а размерность мира, в котором мы живем, - трем),и расширить ее для тех понятий, для которых дробная размерность имеет смысл. Слово фрактал произошло от fractional values - дробные величины, которые может принимать размерность фрактальных объектов. Подробнее вы можете познакомиться с этим в [28] (см. список литературы в конце книги).

36_Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в деист

2.2. Метрические пространства

Математики любят расширять конкретные понятия до абс^ рактных. Например, идея измерения расстояний между альными объектами вполне понятна. Но как измерить рас стояние между двумя изображениями? Иногда абстракц^ освобождает наше воображение от привычного взгляда На вещи и позволяет найти новые подходы к решению проблем В этой главе мы расширим понятие расстояния до более об. щего понятия метрики. Кроме того, мы введем более общее представление об объектах - как о точках в пространстве Это позволит нам рассматривать изображения в пространен вах особого вида, называемых метрическими пространспь вами, и измерять расстояния между изображениями. Затем мы дадим понятия классической теории метрических про. странств, чтобы изложить на их основе алгоритм генерации заранее заданных фрактальных изображений.