Пусть (ХД) - полное метрическое пространство. Определим Я(Х) как пространство, состоящее из компактных подмножеств X. Таким образом, каждая точка в Я(Х) - это компактное подмножество из X. Определим расстояние между х g X и В G Я(Х) как кратчайшее расстояние между точкой х и произвольной точкой у G В\

d(x, В) = min {d(x, у):у£ В}

Заметим, что этот минимум существует и конечен, так как В компактно и, следовательно, замкнуто и ограничено. Теперь мы можем определить расстояние между двумя компактными множествами А и В как

d(A, В) = max {d(x, В): х е А}

Компактность А обеспечивает существование и конечность этого максимума. Но задает ли d(A, В) метрику? Рассмотрим ситуацию, показанную на Рис. 2.2.1.

Системы итерируемых функций

41

Из Рис. 2.2.1 ясно, что в общем случае d(A, В) * d(B, А) (действительно, равенство бывает крайне редко). Мы можем поправить это, определив новую меру расстояния h(A, В):

А(А, В) = max {d(Ay В\ d(By А)}.

Теперь h(A, В) = h(B, А) и h является метрикой в Я(Х). Метрика h называется метрикой Хаусдорфа, а метрическое пространство (Я(Х), К) - метрическим пространством Хаус-дорфа. Барнсли (1993) назвал (Я(Х), К) «пространством, где обитают фракталы». В этом пространстве мы будем разрабатывать механизм для создания некоторых видов фракталов с помощью систем итерируемых функций. Пространство (Я(Х), К) - это полное метрическое пространство (Barnsley 1993). В тех случаях, когда пространством будет пространство R2 (как в случае двоичных изображений, рассматриваемых в этой главе), обозначение H(R2) будет сокращено до Я.

2.2.3. Сжимаюшие отображения

Преобразование сопоставляет точке в одном пространстве точку в другом (возможно, том же самом пространстве) согласно некоторому заранее определенному правилу. Например, функция

fix, у) = (0.5* + О.Зу + 2, 0.2х - 0.5у + 1)

это преобразование, которое переводит одну точку в R в другую точку в R2. Преобразование называется отображением и записывается /: Xi —> Х2, если оно переводит пространство Xi в пространство Х2.

Преобразование /:Х -^Хв метрическом пространстве (X, d) называется сжимаюгцим отображением, если существует константа s, 0 < s < 1 такая, что