Теперь применим эти соображения к так называемой кривой Коха (рис, 2.1).

На рис. 2.1. представлены трн стадии (а) - (в) формирования кривой Коха. На каждой стадии формирования этой кривой замена средней трети каждого сегмента производится в направлении, которое увеличивает площадь под кривой. Мы видим, что прн каждом уменьшения длины Ь в трн раза число сегментов увеличивается в четыре раза. Таким образом имеем N = 4 и Ь - 1/3, н фрак-

2.2. Фрактальная размерновть субатомных частиц 125

тальная размерность треугольной кривой Коха равна О = 1п4/1пЗ = 1,2618... Это выражение является инвариантом, то есть остается неизменным для любого числа к - звеньев (сегментов) кривой, ибо О = 1п4к/шЗ' = 1,2618...

Рис. 2.1. Формирование кривой Коха

Здесь для удобства определения размерности использован натуральный логарифм. Ниже на конкретных примерах рассмотрим применение фракталов для описания физических объектов, что позволит уточнить понятия их глобальной н локальной размерностей и показать большие возможности фрактального анализа,

2,2. Фрактальная размерность субатомных частиц

Сначала применим введенное понятие фрактальной размерности для описания алгоритма постоянной тонкой структуры сТ1 = 137,03597 [33]. Эта величина играет роль константы связи, она показывает (см. Введение, п. 5), как сильно элементарная частица взаимодействует с себе подобной, является одной нз истинно фундаментальных постоянных природы и применима в области взаимодействий частиц, имеющих фрактальную структуру. Действительно, в следующем п. 2.3 показано, что константа а также описывает тонкую структуру пространства, которая образуется в результате перехода ки-

126 Глава 2. Фрактальные размерности материальных объектов

нетической энергии фотона в потенциальную энергию, по-другому можно сказать, что структура пространства образуется комбинациями элементарных составляющих коллапсированных фотонов.

Рис. 2.2. Графическое изображение взаимодействия двух электронов

На рнс. 2.2 изображено взаимодействие двух электронов. Если посмотреть издалека на это взаимодействие, то увидим две маленькие пылинки, которые математики называют канторовским множеством (пылью) на прямой с глобальной размерностью Оа = 1п2ЛпЗ [32]. Если посмотреть вблизи на это взаимодействие, то увидим, что соприкасаются два объемных электрических объекта, каждый из которых имеет размерность Е = 3. Вот почему в общем случае локальная размерность электрической системы определяется как произведение линейных размерностей пространств с учетом протяженности прикосновения [34, 35], н в данном случае она равна О,. = 10,00049 (см. п. 4.1).