Новая физика использовала введенное геометрией понятие фрактальной размерности О н расширила ее применение для различных материальных объектов [3]. Фрактальная размерность выступает в качестве количественной меры структурности этих объектов. Для определения О вспомним понятия обычной евклидовой геометрии. Рассмотрим сплошной круговой или сферический объект массой М н радиусом И, Если объект круговой или сферический, то при увеличении радиуса объекта его масса увеличивается в Я2 или в РЛ Эту связь массы н длины мы можем записать в виде М ~ РЛ где Е — размерность (число координат) пространства. Объект называется фрактальным, если он удовлетворяет соотношению М ~ И0, где О меньше пространственной размерности Е. Это указывает на то, что фрактальная геометрия описывает объекты с дробной размерностью пространства.

Однако в реальных физических системах фрактальная размерность О выполняется не для любых масштабов длины, а ограничивается верхними н нижними пределами фрактальных объектов, которые являются не самоподоб-нымн. Поэтому вводятся два совершенно различных значения размерности: локальное (справедливое для масштабов, меньших некоторого критического) и глобальное (справедливое для масштабов, больших критического). Эти размерности принципиально отличаются, поэтому в

124 Глава 2. Фрактальные размерности материальных объектов

разных физических задачах нужно пользоваться разными определениями фрактальной размерности.

Например, глобальная размерность (по-другому, внешняя размерность) кривой фрактального типа на плоскости изменяется от 1 до 2, где 1 — размерность прямой, 2 — размерность плоскости. Локальная (по-другому, внутренняя размерность) для этой кривой на плоскости изменяется от 1 до бесконечности. Эти размерности — глобальная н локальная — совпадают только для тривиального случая гладкой кривой. Тогда становится понятным, что глобальная размерность фрактальной кривой изменяется от размерности гладкого объекта до размерности пространства, а локальная — от размерности гладкого объекта до бесконечности.

Теперь обсудим фрактальную размерность на примере регулярных, самоподобных фракталов. Рассмотрим сначала отрезок единичной длины, который разбит на N равных кусков длиной Ь, так что N = 1/Ь. По мере уменьшения Ь значение N растет линейно, что н следовало ожи -дать для одномерной кривой. Аналогично, если мы разделим квадрат единичной площади на N равных квадратиков со стороной Ь, то получим N = 1/Ь2 — ожидаемый для двумерного объекта результат. Можно утверждать, что в общем случае N = 1/Ь°, где О - размерность объекта. Следовательно, логарифмируя обе части этого равенства, можно выразить размерность в виде Т> = 1одЫ/1од(1/Ь), которая не зависит от основания логарифма.