Терминология.

Математика — изучение абсолютно необходимых истин.

Доказательство — способ установления истинности математи­ческих высказываний.

(Традиционное определение): последовательность утверждений, которая начинается с некоторых посылок, заканчивается желаемым вы­водом и удовлетворяет определенным «правилам вывода».

(Лучшее определение): вычисление, моделирующее свойства какой-то абстрактной категории, результат которого устанавливает, что аб­страктная категория обладает данным свойством.

Математическая интуиция (традиционное) — высший само­очевидный источник доказательства в математическом рассуждении.

(Действительное): Множество теорий (осознанных и неосознан­ных) о поведении определенных физических объектов, поведение ко­торых моделирует поведение интересных абстрактных категорий.

Интуиционизм — доктрина, связанная с тем, что все рассужде­ние об абстрактных категориях ненадежно, кроме того случая, когда оно основано на прямой самоочевидной интуиции. Это математическая версия солипсизма.

Десятая задача Гильберта — «раз и навсегда установить опре­деленность математических методов», найдя набор правил вывода, до­статочный для всех обоснованных доказательств, и затем доказать со­стоятельность этих правил в соответствии с их собственными нормами.

Теорема Геделя о неполноте — доказательство того, что де­сятая задача Гильберта не имеет решения. Для любого набора правил вывода существуют обоснованные доказательства, которые эти прави­ла не определяют как таковые.

Резюме.

Сложные и автономные абстрактные категории объективно су­ществуют и являются частью структуры реальности. Существуют логически необходимые истины об этих категориях, которые и состав­ляют предмет математики. Однако, эти истины невозможно знать опре­деленно. Доказательства не дают их выводам определенность. Обос­нованность конкретной формы доказательства зависит от истинности наших теорий о поведении объектов, с помощью которых мы осущест­вляем доказательство. Следовательно, математическое знание наслед­ственно производно и полностью зависит от нашего знания физики. Постижимые математические истины — это в точности то бесконеч­но малое меньшинство, которое можно передать в виртуальной реаль­ности. Однако непостижимые математические категории (например, среды Кантгоуту) тоже существуют, т. к. они сложным образом появ­ляются в наших объяснениях постижимых категорий.