С{РЪ Р3}| = \С{Рг, Р2}| + |£{Р2, Р3}|.

94

Три классических фрактала — совершенно ручные о II

Другие определения интервала и расстояния различают точки реки и точки водораздела. Обозначим через £' и £" моменты первого и последнего посещения точки Р. Точка Р считается точкой реки, если отображение интервала [£', £"] ограничено этой точкой и кривыми водораздела. Последовательные посещения точки Р располагаются друг против друга на противоположных берегах реки. Точка Р считается точкой водораздела, если отображение интервала [£', £"] ограничено этой точкой и реками.

В случае, если кривая Пеано представлена как общая граница между деревом рек и деревом водоразделов, пути, соединяющие точки Р\ и Р2, расположенные на противоположных берегах реки (т. е. вдоль водораздела), включают в себя наикратчайший общий путь. Представляется разумным при измерении расстояния между точками Р\ и Р2 следовать как раз этим путем. Если не считать некоторых исключений, размерность £> как дерева рек, так и дерева водоразделов строго меньше 2 и строго больше 1. Следовательно, наикратчайший путь нельзя измерить ни длиной, ни площадью, однако в типичных случаях он имеет нетривиальную хаусдорфову протяженность в размерности И.

И еще. Очень важные дополнительные соображения относительно движений Пеано подробно изложены в пояснениях к нижеследующим рисункам.

Рис. 95. КВАДРАТИЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ КОХА С РАЗМЕРНОСТЬЮ £> = 2: ОРИГИНАЛЬНАЯ КРИВАЯ ПЕАНО, ПРОХОЖДЕНИЕ КВАДРАТА

Заполняющая плоскость кривая Пеано, представленная на этом рисунке, является оригинальной кривой Пеано. Невероятно краткий алгоритм Джузеппе Пеано был графически воплощен в работе Мура [435] (которая получила, пожалуй, чрезмерно высокую оценку во «Фракталах» 1977 г.). На нашем рисунке кривая Пеано развернута на 45° — тем самым эта «блудная» конструкция оказывается возвращенной в лоно кривых Коха, т. е. теперь генератор всегда одинаково размещается на сторонах терагона, полученного на предыдущем этапе построения.

Инициатором здесь выступает единичный квадрат (черный внутри), а генератор выглядит следующим образом: