7 о Покорение чудовищных кривых Пеано

93

покрытие отрезка [0, 1] отображается на покрытие квадрата. Последовательные девятые доли линейных плиток отображаются на последовательные подплитки плоскости. А свойство отрезка, именуемое пертай-линг, т. е. рекурсивная и бесконечная разбиваемость на меньшие плитки, подобные целому отрезку [0, 1], отображается на аналогичное свойство квадрата. Различные движения Пеано, коими мы обязаны Э.Чезаро и Д. Пойа, отображают это свойство также и на всевозможные самоподобные покрытия треугольников.

В более общем смысле большинство движений Пеано порождают самоподобные покрытия плоскости. В простейшем случае существует некое основание /V, и мы начинаем с линейного пертайлинга, заключающегося в последовательном разбиении целого на ЛГ-е доли. Однако прохождение снежинки, изображенное на рис. 104 и 105, подразумевает неравномерное разбиение интервала времени £ [0, 1] сначала на четыре подынтервала длиной 1 /9, затем на четыре подынтервала длиной 1 /9л/3, один — 1/9, два — 1/9л/3 и два — 1/9.

ОБ ИЗМЕРЕНИИ РАССТОЯНИЯ ПЛОЩАДЬЮ

Движения Пеано нередко подразумевают весьма деликатные взаимоотношения между длиной и площадью, в которых эти понятия подчас меняются местами. Особенно характерно это для изометрического движения, т.е. такого, при котором временной интервал [£1, £2] отображается на площадь, равную длине £1 — £г|- (Большинству движений Пеано присущи одновременно и изометрия, и пертайлинг, однако эти два понятия не следует смешивать.) Называя отображение временного интервала [£1, £2] плоским интервалом Пеано, мы подразумеваем, что вместо измерения расстояний через изменение значения времени, можно измерять их непосредственно на площади. Здесь, правда, возникает одна весьма существенная сложность — точки, расположенные напротив друг друга на разных берегах реки, совпадают в пространстве, но посещаются в разные моменты времени.

Определение «расстояния Пеано» может включать в себя только порядок посещений. Обозначим моменты первых посещений точек Р\ и Р2 через £'х и £3, а моменты последних посещений — через £" и £2'. Тогда левый интервал Пеано С {Рг, Р2] определяется как отображение интервала [£'ь £2], а правый интервал Пеано Т1{Р\, Р2} — как отображение интервала [£'/, £3]. Длины этих интервалов определяют левое и правое расстояния как |£{РЬ Р2}| = ^ -£'2| и |7г{Р1, Р2}| = |£" -£2'|- Каждое из этих расстояний аддитивно, т. е. если расположить, скажем, три точки Р\, Р2 и Р3 в порядке их первых посещений, то мы получим