Какой бы простой и очевидной ни казалась эта новая водораздельно-речная аналогия, она оказалась возможной только после того, как мы перестали считать кривые Пеано чем-то заведомо патологическим. В самом деле, если мы хотим, чтобы древовидная структура, составленная из рек исчезающей ширины, собрала всю воду с некоторого участка, ей просто не остается ничего другого, как проникнуть во все точки этого участка. Всякий, кто отправится прогуляться по берегам всех рек данной системы, совершит заполняющее плоскость путешествие. Не верите? Спросите у любого ребенка!

Вооружившись интуицией, подкрепленной рис. 104, мы с легкостью обнаружим аналогичные сопряженные конструкции во всех тера-гонах Пеано. Даже грубый остров с рис. 95 приобретает в этом свете некое осмысленное содержание. Пронизывающие его тонкие ленты воды нельзя принять за фьорды, как бы мы ни напрягали наше воображение, однако их вполне можно рассматривать как речную систему.

Когда из изучения рек вырастет настоящая наука, ее следует назвать потамологией — термин, созданный Морисом Парде из греческих корней тготацоя («река») и А070С;. Однако, по трезвом размышлении, приходится признать, что изучение рек — это лишь часть более общей науки о воде, гидрологии, во владения которой на протяжении этого эссе мы еще не раз наведаемся.

НЕИЗБЕЖНЫЕ КРАТНЫЕ ТОЧКИ ДЕРЕВЬЕВ И, КАК СЛЕДСТВИЕ, ДВИЖЕНИЙ ПЕАНО

Неожиданно находят очевидное объяснение и многие математические свойства кривых Пеано. Чтобы объяснить кратные точки, предположим, что некто начинает движение вдоль берега реки, являющейся частью дерева рек Пеано, и движется вверх или вниз по течению, обходя даже самые маленькие притоки (причем чем уже приток, тем быстрее движение). Очевидно, что в конечном счете наш путешественник придет

92

Три классических фрактала — совершенно ручные о II

в точку, которая находится на другом берегу напротив точки его отправления. А поскольку в пределе река бесконечно узка, то он по существу вернется в начальную точку. Таким образом, кратные точки на кривой Пеано представляются неизбежными не только с математически логической точки зрения, но и с позиций здравого смысла. Более того, эти точки всюду плотны.