При построении этих конструкций использован метод Коха, но с неравными длинами сторон гт генератора. До сих пор мы подразумевали, что ко всем N «частям», на которые делится наше «целое», применяется один и тот же коэффициент подобия г. При неравных коэффициентах гт кривая Коха несколько теряет в своей неумолимой правильности. На рис. 87 вы можете видеть модифицированную таким образом троичную кривую Коха.

Заметьте, что во всей предшествующей серии иллюстраций построение кривой продолжалось до тех пор, пока не достигало мельчайших деталей заранее определенного размера. Когда гт = г, искомая цель достигается за некоторое заранее определенное число этапов построения, здесь же необходимое число этапов оказывается переменным.

Теперь перед нами стоит задача распространить на данное обобщение рекурсии Коха концепцию размерности подобия. Предположим для начала, что некая стандартная евклидова фигура покрывается подобными ей частями, уменьшенными соответственно в гт раз. При £) = = 1 значение гт должно удовлетворять равенству ^гт = 1; в общем случае евклидовы фигуры требуют равенства = 1- Далее, для

случая фрактальных кривых, которые могут быть разделены на равные части, уже знакомое нам условие Мг° = 1 также можно переписать как г™ = 1- Исходя из этих соображений, мы можем построить генерирующую размерность функцию С (£>) = ^ и определить £> как ее единственный действительный корень при С (£)) = 1. Остается выяснить, совпадает ли наша размерность £> с размерностью Хаусдорфа-

Безиковича. Да, совпадает — по крайней мере, во всех случаях, о которых мне известно.

Примеры. Размерность £> кривой, представленной на рис. 87, несколько превышает размерность оригинальной кривой Коха 1п4/ 1пЗ. Размерность И кривой, изображенной на рис. 88 вверху, немного не достигает 2. При И —> 2 береговая линия этого острова стремится к кривой Пеано-Пойа, одной из кривых Пеано, рассматриваемых в следующей главе. Сходство между этой фигурой и рядом деревьев не случайно, как будет показано в главе 17. Наконец, кривая на рис. 88 внизу имеет размерность И лишь чуть больше 1.