Если же попытаться получить с помощью вышеописанного построения кривую Коха с размерностью больше 2, то мы неизбежно придем к кривым, которые покрывают плоскость бесконечно много раз. Случай И = 2 заслуживает особого рассмотрения, и мы займемся им в главе 7.

ДУГИ И ПОЛУПРЯМЫЕ КОХА

В некоторых случаях возникает необходимость в педантичной замене термина «кривая Коха» чем-нибудь более точным и подходящим. Например, фигура, изображенная на рис. 73 внизу, формально является коховым отображением отрезка прямой и может быть названа дугой Коха. Как следствие, граничная линия на рис. 74 оказывается составленной из трех дуг Коха. Часто бывает полезно экстраполировать дугу в полупрямую Коха — экстраполяция увеличивает исходную дугу сначала

6 о Снежинки и другие кривые Коха

67

в 1 /г = 3 раза, используя ее левую концевую точку как фокус, затем в 3 раз и т. д. Результат каждой следующей экстраполяции включает в себя предыдущую кривую, и получающаяся в пределе кривая содержит все промежуточные конечные кривые.

ЗАВИСИМОСТЬ МЕРЫ ОТ РАДИУСА ПРИ ДРОБНОМ ЗНАЧЕНИИ Г>

Рассмотрим еще одну стандартную ситуацию евклидовой геометрии и обобщим ее с учетом фрактальных размерностей. В случае идеальных однородных физических объектов плотности р мы можем считать, что масса М (Д) стержня длиной 2 Д, диска или шара радиуса Д пропорциональна рКЕ. При Е = 1, 2 и 3 коэффициенты пропорциональности соответственно равны 2, 2тт и 47г/3.

Правило М (К) ос Я0 применимо и к фракталам, при условии, что они самоподобны.

В случае троичных кривых Коха это утверждение доказывается проще всего, если начало координат совпадает с концевой точкой полупрямой Коха. Если круг радиуса До = 3/с (где к ^ 0) содержит массу М (До), то круг радиуса Д = До/3 вместит в себя массу М (К) = = М (До)/4. Отсюда

М (Д) = М (До) (Д/Д0)Д = [М (До)До~Д] 11°■

Следовательно, отношение М (Д)/Дд не зависит от радиуса Д и может послужить для определения плотности р.

ДВИЖЕНИЕ КОХА

Представьте себе точку, движущуюся вдоль полупрямой Коха и проходящую за одинаковые интервалы времени дуги одинаковой меры. Если теперь обратить функцию, определяющую время как зависимость от положения точки, то мы получим функцию, определяющую положение точки как зависимость от времени, т. е. функцию движения. Скорость такого движения, разумеется, бесконечна.