И все же даже после того, как мы отбросили самые крупные и самые мелкие детали, величина И продолжает означать эффективную размерность в том виде, в каком она описана в главе 3. Строго говоря, и треугольник, и звезда Давида, и конечные терагоны Коха имеют размерность 1. Однако — как с интуитивной, так и с прагматической точки зрения, руководствующейся простотой и естественностью необходимых поправочных членов — разумнее рассматривать терагон Коха на одной из поздних стадий построения как фигуру, более близкую к кривой с размерностью 1п4/1пЗ, нежели к кривой с размерностью 1.

Что же касается береговой линии, то она, вероятнее всего, имеет несколько различных размерностей (вспомните клубок ниток из третьей

Уильям Шекспир. Троил и Крессида. Пер. с англ. Т. Гнедич. — Прим. перев.

66

Три классических фрактала — совершенно ручные о II

главы). Ее географической размерностью является показатель Ричардсона И. Но в диапазоне размеров, которыми занимается физика, размерность береговой линии может быть совсем иной — связанной с понятием границы раздела между водой, воздухом и песком.

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ КОХА И КРИВЫЕ КОХА БЕЗ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЙ

Сформулируем еще раз основной принцип построения троичной кривой Коха. Построение начинается с двух фигур: инициатора и генератора. Последний представляет собой ориентированную ломаную, состоящую из N равных отрезков длины г. В начале каждого этапа построения мы имеем некоторую ломаную; сам этап заключается в замене каждого прямого участка копией генератора, уменьшенной и смещенной так, чтобы ее концевые точки совпали с концевыми точками заменяемого отрезка. На каждом этапе И = 1п7У/1п(1/г).

Нетрудно изменить общий вид получаемой конструкции путем модификации генератора; особенно интересны сочетания выступов и впадин — примеры можно найти на следующих после главы иллюстрациях. Таким образом, можно получить различные терагоны Коха, сходящиеся к кривым, размерности которых находятся в интервале от 1 до 2.

Все эти кривые Коха нигде не пересекают сами себя, поэтому при определении И их можно без какой бы то ни было неоднозначности делить на непересекающиеся части. Однако если при построении кривой Коха использовать небрежно подобранные генераторы, существует известный риск получить самокасание или самопересечение, а то и самоперекрытие. Если желаемое значение И достаточно мало, то тщательным подбором генератора можно легко избежать появления двойных точек. Задача резко усложняется при увеличении И, однако пока значение £) остается меньше 2, решение существует.