УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ И ХАОС: z —> \ (z — 1/z) И ДРУГИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

С. Латте, современник Фату и Жюлиа, выделил отношение четвертого порядка полиномов, итерации которых «хаотичны» на всей плоскости, т. е. не притягиваются ни к какому меньшему множеству. Этот пример побуждает нас заняться поисками хаотического поведения в отображениях низшего порядка. Кроме того, в настоящем разделе рассматриваются классы универсальности для формы островов при А-отображениях.

Отображение z —> X(z — 1/z) и его А-отображение. В особом случае А = г/2 функция у = —iz следует правилу у —> /2 (у + 1/у), которое вытекает также из приложения метода Ньютона к отысканию корней z2 — 1. Отметим, что можно положить z = ctg в, и выражение j,z — 1/z) примет вид (cos2 в — sin2 6)/2 cos 0 sin 0 = ctg 26. Таким

604

Фрактальная геометрия природы

образом, запись г —> /г — 1/г) представляет собой просто-напросто занятный способ записать в —> 26. Для рассмотрения других значений А было построено отображение, аналогичное тем, что представлены на рис. 268 и 269; часть его можно видеть на рис. 12.

Наблюдается очень интересная форма «универсальности»: «молекулы-острова» на рис. 12 принимают в точности ту же форму, что и при квадратичном отображении. То есть иллюстрации 12 и 268-269 построены из одинаковых «кирпичей». В открытом диске |А| > 1 итерации отображения г —> А (г — уходят в бесконечность за исключением точек го, образующих пыль. В белом диске |А + г/2| < 1/2 итерации имеют две предельные точки. Когда значение А приходится на один из «отростков» черной «короны», существует некоторая предельная окружность, диаметр которой больше 2, но не слишком велик. Значения же А, оказавшиеся внутри короны А-отображения, дают хаотическое движение.

< Вычисление можно упростить следующими допущениями. А) Значение А, приводящее к очень большой окружности, приходится на внутреннюю область столь малого атома, что его и разыскивать-то не стоит. Б) Все практически значимые малые окружности располагаются «вблизи» точки г = 0. Таким образом, можно предположить, что любая орбита, уходящая «далеко» от точки г = 0, хаотична. Это приближение, разумеется, лишено конкретного обоснования, однако получаемое с его помощью А-отображение состоит из знакомых элементов, и значит, такой метод представляется вполне разумным. ►