КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ И ФРАКТАЛЫ

Для того, чтобы показать, что глобальный порядок может быть порожден силами, действующими исключительно между соседними эле-

1 Собственно говоря, «салфеткой» она стала уже в русском языке. У Мандельброта эта фигура называется «Sierpirïsky gasket», т. е. «сальник Серпинского» или «прокладка Серпинского». Отсюда и дальнейшее рассуждение. — Прим. перев.

2 Оба эти французских слова не совсем приличны; их этимологию действительно можно проследить до «кораблей» и «веревок», соответственно, однако в настоящее время их значение претерпело некоторые изменения. — Прим. перев.

3Некоторые русскоязычные авторы отдают предпочтение именно этому варианту, передавая «Sierpirïsky gasket» как «сито» или «решето Серпинского». — Прим. перев.

602

Фрактальная геометрия природы

ментами, я придумал пример, описанный на с. 452. Вскоре мне указали на то, что в моем примере действует так называемый «клеточный автомат» в том виде, в каком этот термин определен Джоном фон Нейманом (см. [621]). Улам показал (снова см. [621]), что выход такого автомата может быть очень сложным и выглядеть случайным. В других работах [669, 670, 667] показано, что этот выход может быть и фрактальным.

ИТЕРАЦИИ ОТОБРАЖЕНИЯ г ^ г2 - ^ В КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ: НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

В [650] включено много иллюстраций, для которых не хватило места в главе 19, и дополнительных наблюдений. Выход статьи [401] несколько задержался и ожидается в 1983 г.

Два важных наблюдения из главы 19 нашли теперь математическое подтверждение.

В работах [628, 627] путем отображения множества внешних точек Л4 на множество внешних точек круга доказано, что замкнутое множество М ив самом деле связно.

В [659] доказано, что хаусдорфова мера дракона Жюлиа является аналитической функцией от параметра ц.

КВАДРИРУЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В КВАТЕРНИОНАХ

В главе 19 установлено, что свойства отображения г —> г2 — ц при вещественных значениях г удобнее всего рассматривать как особые случаи этого же отображения при комплексных г и /1, и что итерации при комплексных г порождают неожиданные и весьма интересные картины. Таким образом, представляется естественным воспользоваться для углубления понимания и получения еще более красивых образов дальнейшим обобщением величины г. А. Нортон предположил, что следующим наиболее естественным окружением могли бы стать гамильтоновы кватернионы. Введенные в 1847 г., кватернионы хорошо знакомы как математикам, так и физикам, однако до сей поры им доставались лишь второстепенные роли. В контексте же итераций концепция кватернионов оказалась необычайно плодотворной как с математической, так и с эстетической точки зрения — подробный отчет читатель найдет в выходящих вскоре работах, моих и Нортона.