580

О людях и идеях о XII

го, чтобы остаться хоть сколько-нибудь полезным для практического геометрического применения.

Первое доказательство того, что евклидово Е-пространство и евклидово Ео-пространство являются гомеоморфными только в том случае, когда Е = Е0, было дано Брауэром в 1911г. (см. [57], т. 2, с.430^34; особый случай Е ^ 3 и Е$ > Е был рассмотрен в 1906 году И. Люротом). Однако в этом доказательстве не указывалось в явном виде какое-либо простое топологическое свойство евклидова .Е-пространства, которое отличало бы его от евклидова Е'о-пространства и обусловливало бы невозможность гомеоморфизма этих пространств. Более сильной в этом смысле оказалась процедура, предложенная Брауэром в 1913 г., когда он ввел целочисленную функцию пространства, топологически инвариантного по самому своему определению. В евклидовом пространстве эта функция всегда принимает значение Е (оправдывая тем самым свое название).

Тем временем Лебег подошел к доказательству того, что размерность евклидова пространства топологически инвариантна, с другой стороны. В 1911г. (см. [295], т. 4, с. 169-210) он отметил, что квадрат можно покрыть произвольно малыми "плитками" таким образом, что ни одна точка квадрата не будет содержаться в более чем трех таких плитках; однако если плитки достаточно малы, то по меньшей мере каждые три из них имеют общую точку. Аналогичным образом может быть разбит на произвольно малые кирпичики куб в евклидовом Е'-пространстве так, что общую точку будут иметь не более чем Е + 1 таких кирпичиков. Лебег предположил, что это наименьшее число не может быть меньше Е + 1, т. е. при любом разбиении на достаточно малые элементы должна существовать точка, общая для по меньшей мере Е +1 этих элементов. (Теорема доказана Брауэром в 1913 г.) Теорема Лебега указывает и на топологическое свойство, отличающее евклидово .Е-пространство от евклидова Ео-пространства, и тем самым также предполагает топологическую инвариантность размерностей евклидовых пространств».

Об относительных вкладах в развитие теории размерности Пуанкаре, Брауэра, Лебега, Урысона и Менгера можно прочесть в заметках X. Фрейденталя в [57] (т. 2, глава 6) и Менгера (см. [428], глава 21).