5 мая 1883 года: «Перевод [статьи Кантора] был отредактирован Пуанкаре со всей тщательностью ... [Он] полагает, что почти всем читателям-французам будут чужды изыскания Кантора, сочетающие в себе философию с математикой и носящие чрезмерно произвольный характер. Я думаю, что Пуанкаре прав».

Пуанкаре. Красноречивое и в конечном счете чрезвычайно плодотворное развитие идей Евклида было представлено Пуанкаре в 1903 г. (см. [478], глава III, раздел 3) и в 1912 г. (см. [479], часть 9). Позволю себе процитировать кое-что в моем вольном переводе.

«Что мы имеем в виду, говоря, что размерность пространства равна трем? Если для разделения континуума С достаточно рассмотреть в качестве сечений определенное количество различных элементов, мы говорим, что размерность такого континуума равна единице ... Если же ... для разделения континуума достаточно взять сечения, образующие один или несколько континуумов с размерностью, равной единице, мы говорим, что размерность континуума С равна двум. Если достаточно взять сечения, образующие один или несколько континуумов с размерностью, не превышающей двух, мы говорим, что размерность континуума С равна трем; и так далее.

Для обоснования этого определения необходимо выяснить, как именно геометры вводят в начале своих работ понятие размерности. Итак, что же мы видим? Как правило, они начинают с определения поверхностей как границ тел либо участков пространства, кривых — как границ поверхностей, точек — как границ кривых, причем утверждают, что далее эту процедуру продолжить невозможно.

Это в точности совпадает с определением, приведенным выше: для разделения пространства необходимы сечения, называемые поверхностями; для разделения поверхностей — сечения, называемые кривыми; точку же разделить нельзя, так как она не является континуумом. Поскольку кривые разделяются сечениями, которые не является континуу-

41 о Исторические очерки

579

мами, размерность кривых равна единице; поскольку поверхности разделяются непрерывными сечениями с размерностью, равной единице, размерность поверхностей равна двум; и, наконец, пространство можно разделить непрерывными сечениями, обладающими двумя измерениями, следовательно, пространство является континуумом с размерностью, равной трем».