L(e)=e1-D.

Эта точная формула оказывается идентичной эмпирическому закону Ричардсона о длине побережья Британии. Для троичной кривой Коха имеем

D = 1п4/1пЗ = 1,2618,

откуда следует, что значение D находится внутри интервала значений, полученных Ричардсоном!

< Доказательство: Очевидно, что L (1) = 1, а

£(£/3) = (4/3)£(е).

Это уравнение имеет решение вида L (е) = ег~в', если D удовлетворяет соотношению 3d_1 — 4/3

Следовательно, D = ln 4/ln 3, что и следовало доказать. ►

Разумеется, в случае кривой Коха показатель D представляет собой не эмпирическую, а математическую постоянную. Таким образом, аргументы в пользу того, чтобы считать этот показатель размерностью, становятся еще более убедительными, чем в случае береговых линий.

6 о Снежинки и другие кривые Коха

63

С другой стороны, аппроксимативная хаусдорфова протяженность в размерности И (понятие, введенное в предыдущей главе) равна произведению е° на количество отрезков длины е, т. е. е°-е^0 = 1. Неплохое подтверждение тому, что величина £) представляет собой хаусдорфову размерность. К сожалению, данное Хаусдорфом определение этой размерности весьма плохо поддается строгой математической трактовке. И даже если бы это было не так, идея обобщения понятия размерности на множество нецелых чисел настолько широка и чревата настолько серьезными последствиями, что более глубокое ее обоснование можно только приветствовать.

Оказывается, мы легко можем получить искомое более глубокое обоснование, рассмотрев случай самоподобных фигур и понятие размерности подобия. Мы часто слышим о том, что математики используют размерность подобия для приблизительного определения хаусдорфовой размерности, причем в большинстве случаев, рассматриваемых в этом эссе, такая приблизительная оценка оказывается верной. В применении к этим случаям мы вполне можем считать фрактальную размерность синонимом размерности подобия. < Аналогичным образом мы используем термин «топологическая размерность» как синоним обычной, «интуитивной», размерности. ►

В качестве своего рода стимулирующего вступления давайте рассмотрим стандартные самоподобные формы: отрезки прямой, прямоугольники на плоскости и т. д. (см. рис. 73). Евклидова размерность прямой равна 1, следовательно, при любом целочисленном «основании» Ь отрезок 0 ^ х < X может быть «покрыт» по всей «длине» (каждая точка при этом покрывается один и только один раз) некоторым количеством «частей», равным N = Ь. Эти «части» представляют собой отрезки (к — 1)Х/Ь ^ х < кХ/Ъ, где к изменяется от 1 до Ь. Каждая часть может быть получена из целого с помощью преобразования подобия с коэффициентом г (М) = 1/Ъ =