38 о Масштабная инвариантность и степенные законы

479

Показатель есть фрактальная размерность. Мы заметили, что показатель И формально является фрактальной размерностью. Это наблюдение не столь поверхностно, как может показаться. В самом деле, если перед словом (в том виде, в каком мы его определили) поставить десятичную запятую, то это слово окажется ничем иным, как числом в интервале от 0 до 1, записанным в системе счисления с основанием (ТУ + 1) и содержащим нули только в конце. Отметим такие числа на интервале [0, 1] и добавим сюда предельные точки этого множества. Построение, в сущности, сводится к удалению из интервала [0, 1] всех чисел, содержащих нули в иных, кроме конца, позициях. В результате получаем канторову пыль, фрактальная размерность которой в точности равна В.

Что же касается других, отличных от простейших, масштабно-инвариантных лексикографических деревьев, к которым мы обращались выше за обобщенным доказательством закона Ципфа, то они аналогичным образом соответствуют обобщенным канторовым множествам с размерностью £>. Уравнение для £> в [326] представляет собой матричное обобщение определения размерности подобия с помощью равенства Мгп = 1.

Дальнейшее обобщение: случай £) > 1. Любопытно, что условие Т) < 1 вовсе не является универсальным. Примеры, в которых обобщенный закон Ципфа выполняется, но оценка размерности £> удовлетворяет неравенству £) > 1, весьма редки, однако несомненно имеют место. Для описания роли особого значения £> = 1 допустим, что закон Р = Р (р + у)-1/-0 выполняется только до некоторого значения р = р* ^ со. При Б < 1 не возникает никаких трудностей с составлением бесконечных словарей, предполагаемых вышеприведенными теоретическими рассуждениями. Однако при £> ^ 1 бесконечный ряд Х)(Р + У)^1/0 расходится. Следовательно, согласно услов и-ям^Р = 1иТР>0, величина р* должна быть конечна, т. е. словарь должен содержать конечное число слов.

В самом деле, размерность В > 1, как выясняется, встречается только в тех случаях, когда словарь противоестественным образом ограничен какими-то внешними искусственными средствами (как, например, в случае вставок латинским шрифтом в нелатинский текст). Такие особые случаи рассматриваются в моих статьях, посвященных этой теме. Поскольку построение, ограниченное конечным количеством точек, не может дать фрактального множества, величину И > 1 не следует интерпретировать как фрактальную размерность.