Получение обобщенного закона Ципфа в простейшем случае. [323, 350, 358]. Простейшее масштабно-инвариантное дерево соответствует повествованию, которое представляет собой последовательность статистически независимых букв, причем вероятность употребления каждой правильной буквы составляет г < а вероятность употребления неправильной буквы «пробела» равна остатку (1 — ТУг). В этом случае /с-й уровень обладает следующими свойствами:

Р = (1 - Нг)гк = Р0гк,

478

Разное о XI

а величина р заключена между границей

1 + N + ТУ2 + ... + Л^-1 = (Л^ - 1)/(7У - 1) (исключая саму границу) и границей

{Мк+1 - 1)/(7У- 1) (включая границу). Записав

В = \п N/ \п(1 /г) < 1 и у = 1/(М-1) и подставив в каждое граничное выражение

к = 1п(Р/Р0)/1пг,

получим

Р-°Р0° - К р/У < ТУ (Р^^Ро1') - 1.

Искомый результат находим, аппроксимируя р с помощью среднего значения его границ.

Обобщение. Можно построить и более сложные масштабно-инвариантные деревья, соответствующие последовательностям букв, порождаемым другими стационарными случайными процессами (марковскими цепями, например) и разделенными впоследствии пробелами на слова. Рассуждение становится более сложным [326], однако результат остается неизменным.

Обратное утверждение. Следует ли из данных Ципфа, что лексикографическое дерево, построенное из обычных букв, является масштабно-инвариантным? Разумеется, нет: многие короткие последовательности никогда не встречаются в языке, в то же время многие длинные последовательности употребляются довольно широко. Следовательно, реальные лексикографические деревья далеки от строгой масштабной инвариантности, однако вышеприведенное рассуждение, по сути, достаточно хорошо объясняет, почему выполняется обобщенный закон Ципфа. Можно также упомянуть и о том, что закон Ципфа первоначально рассматривался как весьма многообещающий вклад в лингвистику — впрочем, как показывает мое объяснение, с лингвистической точки зрения закон этот очень поверхностен.

< Обобщенный закон Ципфа также выполняется внутри определенных ограниченных словарных составов. Например, специалисты в области одной эзотерической дисциплины, называемой агиоантропонимией и занимающейся исследованием случаев использования имен святых для именования обычных людей (см. [322]), установили, что к таким именам закон Ципфа вполне применим. Кроме того, Теньер [566] обнаружил, что закон Ципфа применим и к фамилиям. Означает ли это, что соответствующие деревья масштабно-инвариантны? ►