Притча об удаляющемся береге. Далеко-далеко отсюда расположен край под названием Земля Десяти Тысяч Озер. Озера эти имеют очень простые названия: Великое, Второе-По-Величине, ..., 7У-е-По-Величине и т. д., вплоть до Десятитысячного-По-Величине. Великое озеро представляет собой огромное неведомое море — нет! целый океан — шириной не менее чем 1600 миль; ширина ТУ-го-По-Величине озера составляет 1600ЛГ_0'8 миль, а самое маленькое озеро имеет всего лишь милю в поперечнике. Но над озерами всегда стоит плотный туман, не позволяющий видеть дальше, чем на милю, отчего, стоя на берегу, никогда нельзя сказать точно, какое именно озеро простирается перед вашими глазами. На суше нет никаких ориентиров, равно как нет там и местных жителей, к которым путешественник мог бы обратиться с вопросом. Однако если путешественник, стоящий на незнакомом берегу, твердо верит в математическое ожидание, он точно знает, что ожидаемое расстояние до противоположного берега равно в этом случае 5 милям. Путешественник садится в лодку, проплывает некоторое количество миль то, обнаруживает, что цели он еще не достиг, и подсчи-

474

Разное о XI

тывает новое ожидаемое расстояние до противоположного берега, которое составит уже 5т миль. Не водятся ли в этих озерах духи, которые и впрямь отодвигают желанный берег от незадачливого путешественника?

Ключ. Вышеописанное распределение диаметров озер представляет собой вариант распределения Корчака, с которым мы встречались в главах 12 и 30.

МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вернемся, однако, к более серьезным вещам. Для того, чтобы получить возможность говорить о масштабно-инвариантных случайных величинах, следует определить термин «масштабно-инвариантный» без привлечения геометрии. Дело в том, что единственной геометрической фигурой, которую можно поставить в соответствие случайной величине, является точка, а точка на части не делится. В качестве приемлемой замены можно предложить следующий вариант: будем говорить, что случайная величина X масштабно-инвариантна при преобразовании Т (X), если распределения X и Т (X) тождественны во всех отношениях, кроме масштаба.