МНОГОУГОЛЬНИКИ БЕЗ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЙ

Выберем случайным образом какой-нибудь многоугольник из всех не пересекающих себя тг-угольников, стороны которых состоят из ребер плоской (Е = 2) квадратной решетки. Он может оказаться близок по форме к квадрату, и тогда его площадь будет приблизительно равна (гг/4)2. Возможно также, что он будет узким и вытянутым, и его площадь составит приблизительно п/2. При усреднении (посредством назначения каждому многоугольнику одинакового веса) результаты численного моделирования дают для площади среднее значение, приблизительно равное п2/0, где И ~ 4/3 (см. [215]). Следовательно, с точки зрения теории фракталов, многоугольник ведет себя как случайное блуждание без самопересечений, кусающее себя за хвост.

И СНОВА МОДЕЛИ БЕРЕГОВЫХ ЛИНИЙ

То, что многоугольники без самопересечений имеют размерность £> ~ 4/3, похоже, дает им право выступать в качестве моделей

458

Разное о XI

береговых линий, иррегулярность которых превышает средний уровень. Мы, конечно же, можем возрадоваться этому открытию, однако оно никоим образом не разрешает вопроса о форме береговых линий, поставленного в главе 5.

Прежде всего, остается проблема островов. Концепция размерности должна одновременно учитывать и иррегулярность береговых линий, и их фрагментацию, и связь между иррегулярностью и фрагментацией. А у не пересекающих себя многоугольников прибрежных островов, к сожалению, не наблюдается.

Кроме того, я полагаю, что одного-единственного значения D для всех береговых линий Земли явно недостаточно.

И, наконец — последнее по порядку, но не по значимости, — если шаг решетки, на которой мы строим очень обширное случайное блуждание (или большой многоугольник) без самопересечений, уменьшается с единицы до какого-либо малого значения г], то две точки, разделенные ранее промежутком единичной длины, сходятся в пределе к одной и той же точке. Таким образом, в предельном случайном блуждании (многоугольнике) на частой решетке появляются точки пусть не самопересечения, но самокасания. Мне совсем не нравится наличие таких точек в модели береговой линии. Помимо всего прочего, эта модель подразумевает возможность буквальной интерпретации латинского слова peninsula («полуостров» или, буквально, «почти-остров») как острова, который касается материка в одной-единственной точке, а также существования почти-озер.