ПРИЛОЖЕНИЕ: НЕМАСШТАБИРУЕМЫЕ КРАТЕРЫ

С учетом поставленной задачи распределение кратеров на поверхности Луны лучше всего описать в виде Рг(А > а) = -Ра-7, где 7 = 1. Такое же значение показателя 7 верно, по всей видимости, и для Марса, однако спутники Юпитера характеризуются иными значениями 7 (см. [531]). Ну а для метеоритов малого объема 7 < 1. Соответствующие трема-множества не являются масштабно-инвариантными.

Случай 7 > 1. В первом немасштабируемом случае на любую заданную точку поверхности планеты, независимо от значения Ш, почти наверное приходится бесконечное количество кратеров. В текстуре поверхности наблюдается подавляющее преобладание малых кратеров. Подобная текстура характерна для поверхности спутника Юпитера Кал-листо, а показатель 7 в этом случае действительно больше единицы. Неравенство 7 > 1 рассматривалось и в предыдущих эссе, увидевших свет еще до полета «Вояджера», хотя тогда мы могли обсуждать его лишь в качестве теоретической возможности.

Случай 7 < 1. Ограничение на площадь кратеров. Обозначим наибольшую площадь через 1; тогда вероятность того, что некая точка не попадает ни в один из существующих кратеров, положитель-

1

на < поскольку сходится интеграл /Рг(А > а)с1а ►, но уменьшается

о

при увеличении ИЛ Получаемая при этом щербатая поверхность даже больше похожа на срез головы швейцарского сыра, чем рассмотренные ранее масштабно-инвариантные множества. Чем больше значение 7, тем меньше количество малых отверстий, и тем более «цельным» становится получаемый сыр. Однако, независимо от 7, площадь поверхности остается положительной, т. е. поверхность представляет собой множество (несамоподобное) с размерностью 2. С другой стороны, я не сомневаюсь в том, что его топологическая размерность равна 1, а это означает, что перед нами фрактал.

В пространственном (метеоритном) случае размерности этого трема-фрактала составляют, соответственно, И = 3 и Ит = 2. ■

Рис. 424 и 425. МАЛЫЕ КРУГЛЫЕ ТРЕМЫ (БЕЛЫЕ) И СЛУЧАЙНЫЕ «ШВЕЙЦАРСКИЕ СЫРЫ» (РАЗМЕРНОСТИ И = 1,9900 И £> = 1,9000)

Тремы на этих иллюстрациях представлены в виде белых кругов. Их центры распределены на плоскости случайным образом. Площадь круга ранга р равна К (2 — 0)/р; выбор числовой постоянной осуществляется, исходя из соображений соответствия трема-модели, описанной в тексте главы. На рис. 424 мы видим нечто похожее на сыр аппенцеллер в разрезанном виде (размерность черной области О = 1, 9900), поверхность же, изображенная на рис. 425, напоминает об эмментальском сыре (размерность черной области £) = 1, 9000). ■