КАК ВАЖНО БЫТЬ ГАУССОВЫМ

Первой чертой, объединяющей главы 27-30, является то, что все они занимаются исключительно гауссовыми процессами. Статистики полагают, что «гауссовость» непременно представляет собой нечто чрезвычайно особенное, однако я с некоторых пор не разделяю эту точку зрения. (См. мои замечания по этому поводу в главе 42.) Тем не менее,

27 о Стоки рек. Масштабно-инвариантные сети и шумы

347

гауссовы процессы остаются своего рода эталонным тестом, и их следует изучить прежде, чем мы начнем двигаться дальше.

НЕРЕКУРСИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Еще одна присущая главам 27-30 особенность не встречается ни в каком другом месте настоящего эссе.

Конструкции (и случайные, и нет), описываемые в других главах, строятся рекурсивно, т. е. посредством добавления все более мелких деталей к менее детализированным формам, полученным на предыдущих этапах построения. Свойства получающегося при этом фрактала выводятся из правил построения.

Теперь же мы начинаем с объявления желательными тех или иных свойств и только затем находим такие правила построения, которые удовлетворили бы нашим пожеланиям. Хотя искомые свойства легко формулируются и выглядят простыми, реализующие их правила, к сожалению, нерекурсивны и, более того, часто весьма неприятны.

Если все так плохо, то почему же мы продолжаем настаивать на этих свойствах? Потому что в их число входят такие свойства, как самоподобие и отсутствие складок (т. е. стационарность), составляющие самую суть науки вообще и теории фракталов в частности.

Относительная ценность «аксиоматического» подхода, используемого в этой главе, видна особенно отчетливо, когда его результат сравнивается с фракталом, полученным рекурсивно. Представьте себе, например, что вы исследуете какой-то конкретный случай, требующий построения плоской фрактальной кривой, размерность £> которой лежит где-то между 1 и 2, и не можете решить, какой метод для этого использовать: процесс срединного смещения из главы 26 или процесс, описываемый ниже. В первом неизбежны складки, тогда как второй лишен этого недостатка. А последовательность дискретных этапов, из-за которой рекурсивные построения представляются столь привлекательными, оборачивается в большинстве случаев возникновением слоев, не имеющих никакого смысла, а зачастую и вовсе нежелательных.