Те же соображения применимы и к изучению масштабно-инвари-нтных фракталов, однако в этом случае первый шаг получается зна-[ительно более длинным, поскольку вместо прямых линий мы имеем иромное множество самых разнообразных возможностей, лишь самые ркие примеры которых вошли в эту книгу. Не следует удивляться тому, [то масштабно-инвариантные фракталы используются здесь лишь как [сточники первых приближений к естественным структурам, подлежа-цим рассмотрению. Скорее, удивиться нужно тому, насколько порази-ельно верными оказываются эти первые приближения.

Нелишним будет напомнить, что идея самоподобия далеко не нова. } случае с прямыми эта идея пришла в голову еще Лейбницу примерно | 1700 г. (см. раздел МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПО ЛЕЙБ-

3 о Размерность, симметрия, расходимость

37

НИЦУ И ЛАПЛАСУ в главе 41). Ее математическому обобщению, не ограничивающемуся прямыми и плоскостями, скоро исполнится сто лет, хотя реальной его важности до настоящего эссе никто не признавал. Физики тоже давно знакомы с самоподобием — с тех пор, как в 1926 г. Льюис Ф. Ричардсон предположил, что турбулентность в широком диапазоне масштабов может быть разбита на самоподобные завихрения. Поразительные аналитические следствия этой идеи в приложении к механике были сформулированы Колмогоровым в работе [276]. Что касается масштабной инвариантности, то ее аналитические аспекты связываются в физике с понятием ренорм-групп (см. главу 36).

И все же впервые геометрические аспекты нестандартной масштабной инвариантности в Природе были должным образом освещены лишь в первом издании настоящего эссе в 1975 г.

«СИММЕТРИИ» ЗА ПРЕДЕЛАМИ МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ

Покончив с прямыми, евклидова геометрия берется за фигуры, обладающие более богатыми в смысле инвариантности свойствами, обычно называемыми «симметриями». Мы с вами также не преминем отправиться на довольно продолжительную экскурсию в царство неинвариантных фракталов (в главах 15-20).

Самоотображающиеся, но масштабно-неинвариантные фракталы тесно связаны с некоторыми из наиболее тонких и сложных мест «строго классического» математического анализа. Опровергая распространенное мнение о сухости анализа, эти фракталы удивительно прекрасны.